Gdzie leży punkt $(0, -5)$?

Na osi $y$, poniżej początku układu

Układ współrzędnych — matematyka klasa 7

Cześć! Gdy podajesz komuś swoją lokalizację w telefonie, wysyłasz dwie liczby. Gdy grasz w statki, mówisz „C4”. Gdy ustawiasz piksel na ekranie, też podajesz dwie liczby. Wszystko to jeden pomysł, który René Descartes wymyślił w XVII wieku: każdy punkt płaszczyzny da się opisać parą liczb.

Budowa układu współrzędnych

Układ współrzędnych tworzą dwie prostopadłe osie liczbowe:

Pierwsza liczba to x, druga to y

- oś $x$ (odciętych) — pozioma, wartości rosną w prawo
- oś $y$ (rzędnych) — pionowa, wartości rosną w górę

Przecinają się w punkcie $(0, 0)$ , zwanym początkiem układu i oznaczanym literą $O$ .

Każdy punkt opisujemy parą liczb zapisywaną w nawiasie:

$P = (x, y)$

Kolejność jest sztywna: najpierw $x$ , potem $y$ . Najpierw idziemy w bok, potem w górę lub w dół.

Cztery ćwiartki

Osie dzielą płaszczyznę na cztery obszary. Numerujemy je przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, zaczynając od prawej górnej. O tym, w której ćwiartce leży punkt, decydują same znaki jego współrzędnych — wartości nie trzeba w ogóle liczyć.

Ćwiartka po ćwiartce

1
I ćwiartka: x dodatnie, y dodatnie
Pierwsza ćwiartka to prawa góra: obie współrzędne dodatnie.
$\text{I}: \; (+, +), \quad (3, 2)$
2
II ćwiartka: x ujemne, y dodatnie
Idziemy przeciwnie do wskazówek zegara, czyli w lewo. Druga ćwiartka to lewa góra.
$\text{II}: \; (-, +), \quad (-3, 2)$
3
III ćwiartka: x ujemne, y ujemne
Trzecia ćwiartka leży pod drugą: obie współrzędne ujemne.
$\text{III}: \; (-, -), \quad (-3, -2)$
4
IV ćwiartka: x dodatnie, y ujemne
Czwarta zamyka koło w prawym dolnym rogu.
$\text{IV}: \; (+, -), \quad (3, -2)$

Wszystkie kroki za Tobą!

Punkty na osiach nie mają ćwiartki

Punkty leżące na osiach nie należą do żadnej ćwiartki — leżą na ich granicy. Poznajesz je po zerze wśród współrzędnych:

- punkt na osi $x$ ma $y = 0$ , na przykład $(5, 0)$
- punkt na osi $y$ ma $x = 0$ , na przykład $(0, -4)$
- początek układu to $(0, 0)$

Punkty z zerem siedzą na osiach, nie w ćwiartkach

Zaznaczamy punkt o współrzędnych (-2, 3)

1
Zaczynasz w początku układu.
$O = (0, 0)$
2
Idziesz 2 jednostki w lewo, bo pierwsza współrzędna jest ujemna.
$x = -2$
3
Stamtąd idziesz 3 jednostki w górę, bo druga współrzędna jest dodatnia.
$y = 3$
4
Dwa kroki w lewo, trzy w górę
Stawiasz kropkę i podpisujesz ją literą.
$P = (-2, 3)$
5
Kolejność decyduje o miejscu. Punkt $A$ leży 3 jednostki w prawo i 2 w górę od początku układu.
$A = (3, 2)$
6
Punkt $B$ to zupełnie inny punkt — 2 w prawo i 3 w górę.
$B = (2, 3)$
Wskazówka
Te same cyfry, inna kolejność, inne miejsce na płaszczyźnie.

Wszystkie kroki za Tobą!

Odczytujemy współrzędne punktu z rysunku

1
Prowadzisz od punktu pionową linię do osi $x$ i odczytujesz pierwszą współrzędną.
$x = 3$
2
Prowadzisz poziomą linię do osi $y$ i odczytujesz drugą współrzędną.
$y = 1$
3
Wspólna współrzędna x układa punkty w pionie
Punkty o tej samej współrzędnej $x$ leżą na jednej prostej pionowej.
$(3, 1), \; (3, 5), \; (3, -2)$
4
Punkty o tej samej współrzędnej $y$ leżą na jednej prostej poziomej.
$(-2, 4), \; (1, 4), \; (5, 4)$

Wszystkie kroki za Tobą!

Symetrie i przesunięcia w układzie

Odbicie punktu widać po znakach: odbijając względem osi $x$ , punkt zostaje nad tą samą kreską na osi poziomej, ale przechodzi na drugą stronę — zmienia się tylko $y$ .

Przesunięcia są jeszcze prostsze: o 4 w prawo dodaje 4 do $x$ , o 2 w dół odejmuje 2 od $y$ . Punkt $(1, 5)$ przesunięty o 4 w prawo i 2 w dół trafia w $(5, 3)$ .

Punkt A i jego dwa odbicia — zmienia się znak jednej współrzędnej

Trzy symetrie i ich znaki

1
Symetria względem osi $x$ zmienia znak drugiej współrzędnej.
$(3, 2) \to (3, -2)$
2
Symetria względem osi $y$ zmienia znak pierwszej współrzędnej.
$(3, 2) \to (-3, 2)$
3
Symetria względem początku układu zmienia znaki obu współrzędnych naraz.
$(3, 2) \to (-3, -2)$
Wskazówka
Symetria zmienia tylko znaki. Cyfry zostają te same.

Wszystkie kroki za Tobą!

Znajdujemy brakujący wierzchołek

1
Zadanie: trzy wierzchołki prostokąta mają współrzędne $A(1,1)$ , $B(6,1)$ oraz $C(6,4)$ . Znajdź czwarty wierzchołek $D$ .
$A(1,1), \; B(6,1), \; C(6,4)$
2
Krok pierwszy: sprawdzamy, jak leżą znane punkty. Punkty $A$ i $B$ mają tę samą współrzędną $y$ , więc odcinek $AB$ jest poziomy.
$y_A = y_B = 1 \;\Rightarrow\; AB \text{ poziomy}$
3
Punkty $B$ i $C$ mają tę samą współrzędną $x$ , więc odcinek $BC$ jest pionowy. Kąt przy $B$ jest prosty — zgadza się z prostokątem.
$x_B = x_C = 6 \;\Rightarrow\; BC \text{ pionowy}$
4
Krok drugi: w prostokącie bok $AD$ musi być równoległy do $BC$ , czyli pionowy. Zatem $D$ ma tę samą współrzędną $x$ co $A$ .
$x_D = x_A = 1$
5
Bok $DC$ musi być równoległy do $AB$ , czyli poziomy. Zatem $D$ ma tę samą współrzędną $y$ co $C$ .
$y_D = y_C = 4$
6
Składamy współrzędne czwartego wierzchołka.
$D = (1, 4)$
7
Krok trzeci: sprawdzamy wymiary. Długość odcinka $AB$ to różnica współrzędnych $x$ .
$|AB| = 6 - 1 = 5$
8
Długość odcinka $BC$ to różnica współrzędnych $y$ .
$|BC| = 4 - 1 = 3$
9
Prostokąt ma wymiary 5 na 3, więc jego pole wynosi 15, a obwód 16.
$P = 15, \quad O = 16$
10
Kontrola: bok $DC$ ma długość $6 - 1 = 5$ , tyle samo co $AB$ . Przeciwległe boki są równe — to rzeczywiście prostokąt.
$|DC| = 5 = |AB| \; \checkmark$
Wskazówka
Ta sama współrzędna x to prosta pionowa, ta sama y to pozioma. Z tego układasz każdą figurę.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

W której ćwiartce leży punkt $(-4, 7)$ ?

P = (-4, 7)

Pułapka! Zamiana kolejności współrzędnych

Najczęstszy błąd w całym temacie.

Punkt $(3, 5)$ to nie to samo co $(5, 3)$ .

Pierwszy leży 3 w prawo i 5 w górę, drugi 5 w prawo i 3 w górę. To dwa różne miejsca na płaszczyźnie.

Zapamiętaj: najpierw poziomo, potem pionowo. Tak jak w alfabecie — $x$ przed $y$ .

Pomocna wskazówka: „najpierw idziesz korytarzem, potem wchodzisz po schodach”.

Pułapka! Minus i numerowanie ćwiartek

Błąd drugi: mylenie kierunku przy liczbach ujemnych.

Ujemne $x$ to w lewo, ujemne $y$ to w dół. Punkt $(-3, -2)$ leży w lewej dolnej części, czyli w III ćwiartce.

Błąd trzeci: numerowanie ćwiartek w złą stronę.

Ćwiartki numerujemy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, zaczynając od prawej górnej. Wiele osób odruchowo liczy zgodnie z zegarem i myli II z IV.

Ćwiartka	Położenie
I	prawa góra
II	lewa góra
III	lewa dół
IV	prawa dół

Pułapka! Ćwiartka dla punktu na osi i krzywa skala

Błąd czwarty: przypisywanie ćwiartki punktom na osiach.

Punkt $(5, 0)$ leży na osi $x$ , a nie w I ćwiartce. Punkty na osiach nie należą do żadnej ćwiartki.

Błąd piąty: nierówna skala na osiach. Rysując układ, zachowaj tę samą jednostkę na obu osiach — inaczej kwadrat będzie wyglądał jak prostokąt, a odległości będą mylące.

Symetrie i przesunięcia figury

1
Zadanie: trójkąt ma wierzchołki $A(2,1)$ , $B(5,1)$ , $C(2,4)$ . Znajdź jego obraz w symetrii względem osi $x$ , a potem przesuń wynik o 3 w lewo.
$A(2,1), \; B(5,1), \; C(2,4)$
2
Krok pierwszy: symetria względem osi $x$ zmienia znak drugiej współrzędnej. Punkt $A$ .
$A' = (2, -1)$
3
Punkt $B$ .
$B' = (5, -1)$
4
Punkt $C$ .
$C' = (2, -4)$
5
Cały trójkąt przeszedł z pierwszej ćwiartki do czwartej, jak odbicie w lustrze wodnym.
$\text{I cwiartka} \to \text{IV cwiartka}$
6
Krok drugi: przesunięcie o 3 w lewo odejmuje 3 od pierwszej współrzędnej każdego punktu.
$A'' = (-1, -1)$
7
Pozostałe wierzchołki.
$B'' = (2, -1), \quad C'' = (-1, -4)$
8
Sprawdzenie: wymiary figury nie mogły się zmienić. Poziomy bok pierwotnie miał długość $5-2 = 3$ .
$|AB| = 3$
9
Po obu przekształceniach poziomy bok ma długość $2 - (-1) = 3$ . Zgadza się — symetria i przesunięcie zachowują długości.
$|A''B''| = 3 \; \checkmark$
Wskazówka
Symetrie i przesunięcia zmieniają położenie, nigdy rozmiar. To zawsze twoja kontrola.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Punkt $A = (4, -3)$ odbito symetrycznie względem osi $y$ . Podaj pierwszą współrzędną obrazu.

A = (4, -3)

Ściąga do zapamiętania

Jak czytać współrzędne punktu i jak numeruje się ćwiartki?

Punkt to para $(x, y)$ : najpierw poziomo, potem pionowo — $(3,5)$ to inny punkt niż $(5,3)$ . Oś $x$ jest pozioma i rośnie w prawo, oś $y$ pionowa i rośnie w górę; przecinają się w początku $(0,0)$ .
• Ćwiartki numeruje się przeciwnie do wskazówek zegara, od prawej górnej: I $(+,+)$ , II $(-,+)$ , III $(-,-)$ , IV $(+,-)$ . Punkty na osiach nie należą do żadnej ćwiartki.
• Symetria względem osi $x$ zmienia znak $y$ , względem osi $y$ zmienia znak $x$ , względem początku układu — obu naraz.
• Przesunięcie dodaje lub odejmuje od odpowiedniej współrzędnej.
• Ta sama $x$ to prosta pionowa, ta sama $y$ — pozioma.

Budowa układu współrzędnych

Cztery ćwiartki

Ćwiartka po ćwiartce

Punkty na osiach nie mają ćwiartki

Zaznaczamy punkt o współrzędnych (-2, 3)

Odczytujemy współrzędne punktu z rysunku

Symetrie i przesunięcia w układzie

Trzy symetrie i ich znaki

Znajdujemy brakujący wierzchołek

Pułapka! Zamiana kolejności współrzędnych

Pułapka! Minus i numerowanie ćwiartek

Pułapka! Ćwiartka dla punktu na osi i krzywa skala

Symetrie i przesunięcia figury

Ściąga do zapamiętania

Sprawdź się!