Graniastosłupy — rodzaje i siatki

około 12 minut

W tej lekcji1/16

Cześć! Karton po soku, sześciokątny lampion, namiot, szklany wazon o podstawie trapezu — wszystko to graniastosłupy. Na egzaminie ósmoklasisty bryły pojawiają się co roku, a każde zadanie zaczyna się od tego samego pytania: co jest podstawą i jak wygląda siatka? Dziś uporządkujesz nazwy — w tym jedno nowe, ważne słowo: graniastosłup PRAWIDŁOWY — i nauczysz się czytać siatki tak sprawnie, jak projektant opakowań.

Prosty, prawidłowy — co dokładnie znaczą te słowa

Graniastosłup ma dwie jednakowe, równoległe podstawy i ściany boczne. Nazwę bierze od kształtu podstawy: trójkątny, czworokątny, sześciokątny.

Graniastosłup prosty to taki, którego ściany boczne są prostokątami ustawionymi prostopadle do podstaw. Wszystkie bryły w tej lekcji są proste.

Graniastosłup prosty: dwie jednakowe podstawy i prostokątne ściany boczne

Nowe słowo klasy ósmej: prawidłowy

W klasie ósmej dochodzi nowe pojęcie:

trójkąt równoboczny

kwadrat

sześciokąt foremny

Trzy wielokąty foremne, które najczęściej stoją w podstawie

Nazwa	Podstawa	Przykład z życia
prawidłowy trójkątny	trójkąt równoboczny	pudełko na kanapki Toblerone
prawidłowy czworokątny	kwadrat	wieża z klocka o kwadratowym przekroju
prawidłowy sześciokątny	sześciokąt foremny	ołówek, lampion

Dwa wnioski, które lubi egzamin

Dwa wnioski, które często sprawdza egzamin:

- każdy graniastosłup prawidłowy jest prosty, ale nie każdy prosty jest prawidłowy — prostopadłościan o podstawie prostokąta $3 \times 5$ jest prosty, ale nie prawidłowy, bo prostokąt nie jest wielokątem foremnym;
- sześcian to szczególny graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym także wysokość równa się bokowi podstawy.

Liczymy elementy graniastosłupa sześciokątnego

Siatka graniastosłupa sześciokątnego: sześć prostokątów i dwie podstawy

1
Na koniec policzmy elementy bryły na palcach, na przykładzie graniastosłupa sześciokątnego. Ściany: sześć bocznych plus dwie podstawy.
$6 + 2 = 8 \text{ scian}$
2
Wierzchołki: sześć w dolnej podstawie i sześć w górnej.
$6 + 6 = 12 \text{ wierzcholkow}$
3
Krawędzie: sześć w dolnej podstawie, sześć w górnej i jeszcze sześć pionowych.
$6 + 6 + 6 = 18 \text{ krawedzi}$

Wszystkie kroki za Tobą!

Te same trzy liczby dla podstawy o n bokach

Zamień szóstkę na $n$ i wzory zrobią się same — nie trzeba ich pamiętać, wystarczy policzyć:

Element	Wzór	Dla $n = 6$
ściany	$n + 2$	8
wierzchołki	$2n$	12
krawędzie	$3n$	18

Siatka — bryła rozłożona na płasko

Siatka graniastosłupa to jego powierzchnia rozcięta wzdłuż krawędzi i rozłożona na płaszczyźnie. Składa się z:

- dwóch jednakowych podstaw,
- $n$ prostokątów bocznych — po jednym na każdy bok podstawy.

Razem $n + 2$ figury, dokładnie tyle, ile bryła ma ścian.

Siatka: dwie podstawy i pas ścian bocznych

Wymiary prostokątów bocznych czyta się z bryły

Jeden bok każdego prostokąta bocznego to bok podstawy, drugi to wysokość graniastosłupa $H$ . W graniastosłupie prawidłowym wszystkie boki podstawy są równe, więc wszystkie prostokąty boczne są identyczne — to duże ułatwienie w rachunkach.

Każda ściana boczna ma wymiary a na H

Ustawione w jednym rzędzie prostokąty boczne sklejają się w jeden długi prostokąt: jego szerokość to obwód podstawy, a wysokość to $H$ . Z tego korzysta cała następna lekcja.

Trzy pytania kontrolne do narysowanej siatki

Jak sprawdzić, czy narysowana siatka naprawdę złoży się w graniastosłup? Trzy pytania kontrolne:

Dwie jednakowe podstawy i cztery prostokąty o boku równym bokowi podstawy

Czytamy siatkę graniastosłupa prawidłowego trójkątnego

1
Zadanie: graniastosłup prawidłowy trójkątny ma krawędź podstawy 4 cm i wysokość 9 cm. Z jakich figur składa się jego siatka i ile drutu potrzeba na szkielet tej bryły?
$a = 4 \text{ cm}, \quad H = 9 \text{ cm}$
2
Krok pierwszy: słowo „prawidłowy trójkątny” tłumaczymy na konkret. Podstawa to trójkąt RÓWNOBOCZNY o boku 4 cm.
$\text{podstawa: trojkat rownoboczny, } a = 4$
3
Dwie podstawy (trójkąty) i trzy prostokąty boczne
Krok drugi: figury w siatce. Dwie podstawy plus trzy prostokąty boczne — razem pięć figur.
$n + 2 = 3 + 2 = 5 \text{ figur}$
4
Każdy prostokąt: 4 cm × 9 cm
Krok trzeci: wymiary prostokątów. Każdy ma bok podstawy na wysokość bryły, a że podstawa jest foremna, wszystkie trzy są identyczne.
$4 \text{ cm} \times 9 \text{ cm}$
5
Krok czwarty: szkielet bryły to jej krawędzie. Krawędzie podstaw: dwa trójkąty po trzy boki, każdy po 4 cm.
$6 \cdot 4 = 24 \text{ cm}$
6
Krawędzie boczne: trzy, każda o długości wysokości bryły.
$3 \cdot 9 = 27 \text{ cm}$
7
Suma wszystkich krawędzi to potrzebna długość drutu.
$24 + 27 = 51 \text{ cm}$
8
Kontrola: krawędzi powinno być 3n, czyli dziewięć. Sześć po 4 cm i trzy po 9 cm — zgadza się.
$3n = 9 \; \checkmark$
Wskazówka
Krawędzie zawsze licz w dwóch grupach: boki podstaw i krawędzie boczne. Nigdy hurtem.

Wszystkie kroki za Tobą!

Lampion — graniastosłup prawidłowy sześciokątny

1
Zadanie egzaminacyjne: lampion ma kształt graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy 10 cm i wysokości 25 cm. Ile ścian, wierzchołków i krawędzi ma ta bryła? Ile taśmy trzeba, by okleić wszystkie krawędzie?
$a = 10, \quad H = 25, \quad n = 6$
2
Ściany: sześć bocznych plus dwie podstawy.
$6 + 2 = 8 \text{ scian}$
3
Wierzchołki: po sześć na każdej podstawie.
$2 \cdot 6 = 12 \text{ wierzcholkow}$
4
Krawędzie: trzy grupy po sześć.
$3 \cdot 6 = 18 \text{ krawedzi}$
5
Taśma na krawędzie podstaw: dwa sześciokąty, każdy o obwodzie sześć razy 10 cm.
$12 \cdot 10 = 120 \text{ cm}$
6
Taśma na krawędzie boczne: sześć krawędzi po 25 cm.
$6 \cdot 25 = 150 \text{ cm}$
7
Razem 270 cm, czyli 2,7 metra taśmy.
$120 + 150 = 270 \text{ cm} = 2{,}7 \text{ m}$
Wskazówka
Zadanie z bryłą zaczynaj od rozbioru nazwy: prawidłowy sześciokątny = foremna podstawa o sześciu równych bokach.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy 6 cm i wysokość 11 cm. Oblicz sumę długości wszystkich jego krawędzi (w centymetrach).

8 \cdot 6 + 4 \cdot 11 = ?

Pułapka! „Prawidłowy” to nie to samo co „prosty”

Błąd pierwszy: mylenie graniastosłupa prostego z prawidłowym. Prosty znaczy tylko tyle, że ściany boczne stoją prostopadle do podstaw. Prawidłowy wymaga czegoś więcej: podstawa musi być wielokątem foremnym. Prostopadłościan o podstawie $3 \times 5$ jest prosty, ale nie jest prawidłowy. „Graniastosłup prawidłowy czworokątny” ma w podstawie kwadrat — to informacja ukryta w nazwie.

Pułapka! Siatka tylko z jedną podstawą

Błąd drugi: siatka bez obu podstaw. Rysując lub licząc figury siatki, łatwo zapomnieć, że podstawy są dwie. Siatka graniastosłupa pięciokątnego ma $5 + 2 = 7$ figur, a nie 6.

Błąd trzeci: mylenie wysokości bryły z bokiem podstawy na siatce. Na siatce oba wymiary prostokąta bocznego wyglądają tak samo — to po prostu odcinki. Zawsze sprawdź, który bok prostokąta skleja się z podstawą (to bok podstawy), a który biegnie między podstawami (to wysokość $H$ ).

Pułapka! Nazwa bryły pochodzi od podstawy, nie od liczby ścian

Błąd czwarty: nazywanie bryły od liczby ścian. Graniastosłup trójkątny ma pięć ścian, ale nazywa się trójkątny — od podstawy.

Nazwa w zadaniu	Co wiesz o podstawie
prawidłowy trójkątny	trójkąt równoboczny
prawidłowy czworokątny	kwadrat
prawidłowy sześciokątny	sześciokąt foremny
prosty (bez „prawidłowy”)	dowolny wielokąt — szukaj wymiarów w treści

Ściąga do zapamiętania

Graniastosłup prawidłowy — definicja, siatka i liczba ścian, wierzchołków, krawędzi?

• Prosty: ściany boczne to prostokąty prostopadłe do podstaw
• Prawidłowy: prosty, a w podstawie wielokąt foremny (trójkątny to trójkąt równoboczny, czworokątny to kwadrat, sześciokątny to sześciokąt foremny)
• Siatka: dwie podstawy i $n$ prostokątów bocznych o wymiarach „bok podstawy na $H$ ”; ustawione w rzędzie tworzą jeden prostokąt „obwód podstawy na $H$ ”
• Dla podstawy o $n$ bokach: ścian $n+2$ , wierzchołków $2n$ , krawędzi $3n$ — czyli $2n$ boków podstaw i $n$ krawędzi bocznych równych $H$

Sprawdź się!

Co jest podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego?

Z ilu figur składa się siatka graniastosłupa pięciokątnego?

Prostokąty boczne graniastosłupa ustawione w jednym rzędzie tworzą prostokąt o wymiarach:

Graniastosłup ma 24 krawędzie. Jaki wielokąt jest jego podstawą?

Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma krawędź podstawy 5 cm i wysokość 10 cm. Suma długości wszystkich jego krawędzi wynosi:

Która bryła NIE jest graniastosłupem prawidłowym?

Następny temat

Pole powierzchni graniastosłupa o dowolnej podstawie