Pole powierzchni graniastosłupa o dowolnej podstawie

około 15 minut

W tej lekcji1/15

Cześć! Ile litrów farby na pomalowanie betonowego słupa? Ile folii na pokrycie namiotu? Ile szkła na akwarium bez pokrywy? W klasie ósmej pole powierzchni liczysz już nie tylko dla pudełek — podstawą bywa trójkąt prostokątny, trapez, a nawet sześciokąt foremny. Do gry wchodzi też twierdzenie Pitagorasa, bo czasem najpierw trzeba znaleźć brakujący bok podstawy. Dokładnie takie zadania trafiają na egzamin ósmoklasisty.

Rozcięte pudełko: dwie podstawy i pas

Weź pudełko po herbacie, rozetnij je wzdłuż krawędzi i rozłóż na płasko. Zostają dwie jednakowe podstawy i pas ścian bocznych. Gdybyś liczył pola tych czterech prostokątów osobno, dodawałbyś $5 \cdot H$ , $3 \cdot H$ , $5 \cdot H$ i $3 \cdot H$ — a to przecież $(5 + 3 + 5 + 3) \cdot H$ , czyli obwód podstawy razy wysokość.

Rozcięte pudełko 5 na 3 na 6 cm — dwie podstawy i pas czterech ścian bocznych

Dwa wzory na całą lekcję

Pas ścian bocznych to jeden długi prostokąt owinięty wokół bryły:

Pudełko 5 na 3 na 6 cm — pas ścian bocznych owija podstawę

$P_b = \text{obwod podstawy} \cdot H$

Do pasa dokładamy dwie podstawy i mamy pole powierzchni całkowitej:

$P_c = 2 \cdot P_p + P_b$

gdzie $P_p$ to pole jednej podstawy, a $P_b$ — pole powierzchni bocznej. Wynik pola powierzchni zawsze podajemy w jednostkach kwadratowych: cm kwadratowych, m kwadratowych.

Zmienia się tylko figura w podstawie

Schemat jest zawsze ten sam — zmienia się tylko figura w podstawie. Dlatego warto mieć pod ręką wzory na pola:

Podstawa	Pole	Obwód
kwadrat o boku $a$	$a^2$	$4a$
prostokąt $a \times b$	$ab$	$2(a+b)$
trójkąt o boku $a$ i wysokości $h$	$\frac{a \cdot h}{2}$	suma boków
trapez o podstawach $a$ , $b$ i wysokości $h$	$\frac{(a+b) \cdot h}{2}$	suma boków
trójkąt równoboczny o boku $a$	$\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$	$3a$
sześciokąt foremny o boku $a$	$6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$	$6a$

Sześciokąt foremny to sześć trójkątów

Dwie ostatnie pozycje tabeli to nowość klasy ósmej. Sześciokąt foremny rozpada się na sześć trójkątów równobocznych o boku $a$ — stąd jego pole to sześć razy pole takiego trójkąta, czyli $\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$ .

Sześciokąt foremny o boku a — trzy przekątne dzielą go na sześć trójkątów równobocznych

Dwie wysokości: bryły i podstawy

W zadaniach o graniastosłupach spotykają się dwie różne wysokości i to najczęstsze źródło pomyłek:

H mierzy się w pionie, między podstawami — wysokość figury leżącej w podstawie to zupełnie inny odcinek

- $H$ — wysokość bryły, czyli odległość między podstawami (długość krawędzi bocznej),
- $h$ — wysokość figury w podstawie, na przykład trójkąta albo trapezu.

To zupełnie różne odcinki. W zapisie warto konsekwentnie używać dużej litery dla bryły i małej dla podstawy.

Pitagoras uzupełnia brakujący bok podstawy

Druga rzecz, którą klasa ósma dokłada do rachunków: twierdzenie Pitagorasa w podstawie. Zadanie często podaje tylko część wymiarów, a resztę trzeba dopowiedzieć:

Podstawa z trójkąta prostokątnego — trzeciego boku nie ma w treści zadania, wylicza go Pitagoras

- podstawa jest trójkątem prostokątnym o przyprostokątnych 6 i 8 — przeciwprostokątną $\sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ liczysz sam, bo bez niej nie ma obwodu;
- podstawa jest trapezem równoramiennym — ramię znajdziesz z trójkąta prostokątnego, który tworzą: wysokość trapezu i połowa różnicy podstaw.

Dopiero z kompletem boków podstawy możesz policzyć jej obwód, a więc i pole boczne.

Kolejność pracy, która nie zawodzi

1
Rozszyfruj podstawę: nazwa bryły albo opis w treści mówi, jaka figura leży na dole.
2
Uzupełnij brakujące boki podstawy — najczęściej twierdzeniem Pitagorasa.
$c = \sqrt{a^2 + b^2}$
3
Policz pole podstawy i jej obwód, każde ze wzoru dla tej figury.
$P_p \quad \text{oraz obwod podstawy}$
4
Pole boczne to obwód podstawy razy wysokość bryły.
$P_b = \text{obwod} \cdot H$
5
Pole całkowite to dwie podstawy dołożone do pola bocznego.
$P_c = 2P_p + P_b$

Wszystkie kroki za Tobą!

Podstawa z trójkąta prostokątnego — najpierw Pitagoras

1
Zadanie: podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 6 cm i 8 cm. Wysokość bryły to 12 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej.
$a = 6, \quad b = 8, \quad H = 12$
2
Krok pierwszy: brakuje trzeciego boku podstawy. Liczymy przeciwprostokątną z twierdzenia Pitagorasa.
$c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
3
Pierwiastkujemy.
$c = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}$
4
Krok drugi: pole podstawy. Przyprostokątne są prostopadłe, więc jedna jest podstawą trójkąta, a druga jego wysokością.
$P_p = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24 \text{ cm}^2$
5
Krok trzeci: obwód podstawy — teraz mamy już wszystkie trzy boki.
$6 + 8 + 10 = 24 \text{ cm}$
6
Krok czwarty: pole boczne, czyli obwód razy wysokość bryły.
$P_b = 24 \cdot 12 = 288 \text{ cm}^2$
7
Krok piąty: pole całkowite — dwie podstawy plus pole boczne.
$P_c = 2 \cdot 24 + 288 = 48 + 288 = 336 \text{ cm}^2$
8
Kontrola: policzmy ściany osobno. Trzy prostokąty: 6 na 12, 8 na 12 i 10 na 12, czyli 72 + 96 + 120 = 288 — zgadza się z polem bocznym.
$72 + 96 + 120 = 288 \; \checkmark$
Wskazówka
Gdy w podstawie jest trójkąt prostokątny, Pitagoras to zawsze krok numer jeden.

Wszystkie kroki za Tobą!

Zadanie egzaminacyjne — podstawa z trapezu

1
Zadanie: podstawą graniastosłupa prostego jest trapez równoramienny o podstawach 10 cm i 4 cm oraz wysokości 4 cm. Wysokość bryły to 5 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej.
$a = 10, \quad b = 4, \quad h = 4, \quad H = 5$
2
Najpierw ramię trapezu. Wysokość opuszczona z końca krótszej podstawy odcina trójkąt prostokątny o przyprostokątnych: wysokość trapezu i połowa różnicy podstaw.
$\frac{10 - 4}{2} = 3 \text{ cm}$
3
Ramię liczymy z Pitagorasa — to trójka 3, 4, 5.
$r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}$
4
Pole podstawy, czyli trapezu.
$P_p = \frac{(10 + 4) \cdot 4}{2} = \frac{56}{2} = 28 \text{ cm}^2$
5
Obwód podstawy: dwie podstawy trapezu i dwa ramiona.
$10 + 4 + 5 + 5 = 24 \text{ cm}$
6
Pole boczne: obwód razy wysokość bryły. Uwaga — bierzemy H równe 5, a nie wysokość trapezu!
$P_b = 24 \cdot 5 = 120 \text{ cm}^2$
7
Pole całkowite.
$P_c = 2 \cdot 28 + 120 = 56 + 120 = 176 \text{ cm}^2$
8
Odpowiedź: pole powierzchni całkowitej wynosi 176 cm kwadratowych.
$\text{Odp.: } 176 \text{ cm}^2$
Wskazówka
Dwie czwórki i dwie piątki w jednym zadaniu — dlatego tak ważne jest oznaczanie, co jest wysokością CZEGO.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy 5 cm i wysokość 8 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej (w cm kwadratowych).

P_c = 2 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5 \cdot 8

cm²

Pułapka! Jedna podstawa zamiast dwóch

Błąd pierwszy — zapominanie o drugiej podstawie. We wzorze $P_c = 2P_p + P_b$ dwójka jest kluczowa. Dla kwadratowej podstawy o boku 3 cm i wysokości 7 cm poprawny wynik to $2 \cdot 9 + 12 \cdot 7 = 18 + 84 = 102$ , a kto weźmie tylko jedną podstawę, dostanie 93 i straci punkt. Wyjątek: akwarium bez pokrywy albo słup malowany bez spodu — wtedy odejmujesz pole ściany świadomie, na podstawie treści zadania.

Pułapka! Wysokość podstawy zamiast wysokości bryły

Błąd drugi — pomylenie dwóch wysokości. Wysokość trapezu (albo trójkąta) w podstawie to $h$ , wysokość bryły to $H$ . Do pola podstawy bierzesz $h$ , do pola bocznego $H$ . W zadaniu z trapezem wyżej obie wynosiły 4 i 5 — pomieszanie ich daje zły wynik w dwóch miejscach naraz.

Pułapka! Obwód bez brakującego boku

Błąd czwarty — obwód liczony bez brakującego boku. W podstawie z trójkąta prostokątnego przeciwprostokątna często nie jest podana. Obwód z dwóch boków zamiast trzech to zaniżone pole boczne. Zawsze sprawdź, czy masz komplet boków podstawy.

Sygnał w zadaniu	Czego dotyczy
„ile papieru, folii, blachy, farby”	pole powierzchni, cm²
„ile mieści, ile wody, ile piasku”	objętość, cm³

Ściąga do zapamiętania

Pole powierzchni graniastosłupa — wzór i kolejność działań?

• Wzór: $P_c = 2P_p + P_b$ , a pole boczne to obwód podstawy razy $H$
• Kolejność: rozszyfruj podstawę, uzupełnij brakujące boki (często Pitagoras: przeciwprostokątna, ramię trapezu), policz pole i obwód podstawy, pomnóż obwód przez $H$ , na końcu dodaj dwie podstawy
• Pola podstaw: trójkąt $\frac{ah}{2}$ , trapez $\frac{(a+b)h}{2}$ , trójkąt równoboczny $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ , a sześciokąt foremny to sześć takich trójkątów
• Nie myl wysokości: $h$ to wysokość figury w podstawie, $H$ to wysokość bryły
• Wynik w jednostkach kwadratowych

Sprawdź się!

Pole powierzchni całkowitej sześcianu wynosi 96 cm². Jaka jest długość jego krawędzi?

Pole podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy 6 cm wynosi:

Prostopadłościan ma wymiary 3 cm, 4 cm i 5 cm. Jego pole powierzchni całkowitej wynosi:

Pole powierzchni bocznej graniastosłupa prostego oblicza się jako:

Uczeń policzył pole całkowite graniastosłupa o podstawie kwadratu o boku 3 cm i wysokości 7 cm tak: $9 + 12 \cdot 7 = 93$ . Jaki błąd popełnił?

Podstawą graniastosłupa jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 5 cm i 12 cm. Ile wynosi obwód podstawy?

Następny temat

Objętość graniastosłupa o dowolnej podstawie