Pola wielokątów — zadania egzaminacyjne

1. 1

   Trapez równoramienny. Wysokość opuszczona z końca krótszej podstawy odcina trójkąt prostokątny o przyprostokątnej równej połowie różnicy podstaw i przeciwprostokątnej równej ramieniu.

   $$\frac{a - b}{2}$$
2. 2

   Romb. Przekątne przecinają się w połowie i pod kątem prostym, więc ćwiartka rombu to trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $\frac{d_1}{2}$ i $\frac{d_2}{2}$ oraz przeciwprostokątnej równej bokowi.

   $$\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = a^2$$
3. 3

   Trójkąt równoramienny. Wysokość opuszczona na podstawę dzieli ją na połowy.

   $$\frac{a}{2}$$

Wszystkie 3 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie egzaminacyjne: podstawy trapezu równoramiennego mają długości 10 cm i 4 cm, a ramię ma 5 cm. Oblicz pole trapezu.

   $$a = 10, \quad b = 4, \quad \text{ramię} = 5$$
2. 2

   Do wzoru na pole trapezu brakuje wysokości. Opuszczamy dwie wysokości z końców krótszej podstawy — odcinają one po bokach dwa jednakowe trójkąty prostokątne.

   $$P = \frac{1}{2}(a+b) \cdot h, \quad h = ?$$

   Jak myślisz, ile wyjdzie?

   A3 cmB4 cmC5 cm

3. 3

   Pozioma przyprostokątna każdego trójkąta to połowa różnicy podstaw — bo nadmiar dłuższej podstawy rozkłada się równo na dwie strony.

   $$\frac{10 - 4}{2} = 3 \text{ cm}$$
4. 4

   Teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie o przyprostokątnej 3 i przeciwprostokątnej 5 (ramię trapezu).

   $$h^2 + 3^2 = 5^2$$
5. 5

   Liczymy: h kwadrat to 25 minus 9, czyli 16.

   $$h = \sqrt{16} = 4 \text{ cm}$$
6. 6

   Mamy wysokość — wchodzimy na piętro jawne. Podstawiamy do wzoru na pole trapezu.

   $$P = \frac{1}{2} \cdot (10 + 4) \cdot 4$$
7. 7

   Liczymy po kolei: suma podstaw to 14, połowa z 14 to 7, razy 4 daje 28.

   $$P = 7 \cdot 4 = 28 \text{ cm}^2$$
8. 8

   Kontrola sensu: prostokąt 10 na 4 miałby pole 40, a trapez jest od niego wyraźnie mniejszy — 28 pasuje. Trójka, czwórka, piątka to zresztą najsłynniejsza trójka pitagorejska egzaminu.

   $$3^2 + 4^2 = 5^2$$

Wszystkie 8 kroków odsłonięte.

1. 1

   Cała różnica podstaw zamiast połowy. W trapezie równoramiennym o podstawach 10 i 4 wysokość odcina trójkąt o przyprostokątnej $3$, a nie $6$ — nadmiar dłuższej podstawy rozkłada się na obie strony trapezu.

   $$(10 - 4) : 2 = 3$$
2. 2

   Przekątna rombu pomylona z bokiem. Bok rombu liczymy z ćwiartki, czyli z połówek przekątnych, a nie z całych przekątnych.

   $$\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = a^2$$
3. 3

   Jednostki. Metr kwadratowy to dziesięć tysięcy centymetrów kwadratowych, a nie sto. Gdy podstawa jest w metrach, a wysokość w centymetrach — najpierw ujednolić, potem mnożyć.

   $$1\ \text{m}^2 = 100 \cdot 100 = 10\,000\ \text{cm}^2$$

Wszystkie 3 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie: przekątne rombu mają długości 12 cm i 16 cm. Oblicz pole rombu oraz jego obwód.

   $$d_1 = 12, \quad d_2 = 16$$
2. 2

   Pole idzie od razu ze wzoru z przekątnymi. Nie zapominamy o połowie!

   $$P = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16$$
3. 3

   Liczymy sprytnie: połowa z 12 to 6, a 6 razy 16 to 96.

   $$P = 96 \text{ cm}^2$$
4. 4

   Teraz obwód — potrzebujemy boku. Przekątne rombu przecinają się w połowie i pod kątem prostym, więc ćwiartka rombu to trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 6 i 8.

   $$\frac{12}{2} = 6, \quad \frac{16}{2} = 8$$
5. 5

   Bok rombu to przeciwprostokątna tego trójkąta. Twierdzenie Pitagorasa:

   $$a^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$$
6. 6

   Pierwiastkujemy: bok ma 10 cm. To trójka pitagorejska 6, 8, 10 — dwukrotność trójki 3, 4, 5.

   $$a = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}$$
7. 7

   Romb ma cztery równe boki, więc obwód to cztery razy bok.

   $$\text{Obw} = 4 \cdot 10 = 40 \text{ cm}$$
8. 8

   Kontrola krzyżowa: pole rombu jako równoległoboku to bok razy wysokość, czyli 96 : 10 = 9,6 cm wysokości — mniej niż bok 10, jak być powinno (wysokość jest zawsze najkrótsza).

   $$h = 96 : 10 = 9{,}6 < 10 \; \checkmark$$

Wszystkie 8 kroków odsłonięte.