Symetria w układzie współrzędnych

około 15 minut

W tej lekcji1/16

Cześć! W poprzednich lekcjach odbijałeś punkty cyrklem i na kratkach. Ale w układzie współrzędnych symetria robi się czystą arytmetyką: żeby odbić punkt, wystarczy zmienić znak jednej albo obu współrzędnych. Trzy reguły, zero rysowania — a na egzaminie ósmoklasisty takie zadanie pojawia się niemal co roku. Opanujmy je raz na zawsze.

Trzy odbicia — trzy reguły znaków

Weźmy dowolny punkt $P = (a, b)$ . W układzie współrzędnych najczęściej odbijamy go na trzy sposoby:

Symetria względem	Obraz punktu $(a, b)$	Co się zmienia
osi $OX$ (poziomej)	$(a, -b)$	znak drugiej współrzędnej
osi $OY$ (pionowej)	$(-a, b)$	znak pierwszej współrzędnej
początku układu $(0,0)$	$(-a, -b)$	znaki obu współrzędnych

Tafla jeziora i lustro na ścianie

Skąd się to bierze? Pomyśl o osi $OX$ jak o tafli jeziora. Punkt $(3, 2)$ „unosi się” 2 jednostki nad wodą; jego odbicie wisi 2 jednostki pod wodą: $(3, -2)$ . Odległość od brzegu (współrzędna $x$ ) się nie zmienia — zmienia się tylko wysokość, czyli $y$ .

Odbicie względem osi y zmienia znak x

Oś $OY$ działa jak lustro na ścianie: punkt $(3, 2)$ leży 3 jednostki przed lustrem, jego obraz $(-3, 2)$ — 3 jednostki „za lustrem”, na tej samej wysokości. Zmienia się tylko $x$ .

Odbicie względem początku to symetria środkowa

Trzeci przypadek już znasz pod inną nazwą. Symetria względem początku układu to poznana w poprzedniej lekcji symetria środkowa o środku $S = (0, 0)$ — czyli obrót o $180°$ . Punkt przeskakuje na drugą stronę zera i w poziomie, i w pionie, więc obie współrzędne zmieniają znak: $(3, 2) \to (-3, -2)$ .

Odcinek AA'' przechodzi przez punkt (0, 0) — to obrót o 180°

Trzy obrazy punktu (3, 2)

Wszystkie trzy obrazy punktu $P = (3, 2)$ naraz. Zwróć uwagę, jak każde odbicie przenosi go do innej ćwiartki.

Jeden punkt i jego trzy obrazy — po jednym w każdej ćwiartce

Punkty na osiach i składanie odbić

Punkty leżące na osi są przy odbiciu względem niej nieruchome.

Punkt K leży na osi OX, więc względem niej się nie rusza

Punkt $(5, 0)$ leży na osi $OX$ , więc jego obraz względem tej osi to $(5, -0) = (5, 0)$ — ten sam punkt.

Ale uwaga: ten sam punkt odbity względem osi $OY$ daje $(-5, 0)$ . Punkt stały jest tylko dla „swojej” osi.

Odbicia można składać

Odbij punkt $(a, b)$ najpierw względem osi $OX$ , a wynik względem osi $OY$ :

$(a, b) \to (a, -b) \to (-a, -b)$

Wyszła symetria względem początku układu! Dwa odbicia względem osi (w dowolnej kolejności) dają razem obrót o $180°$ . Na egzaminie to gotowy skrót: „odbito względem osi $OX$ , a potem względem osi $OY$ ” znaczy po prostu „oba znaki na przeciwne”.

Symetria a ćwiartki

Ćwiartki nie ma po co kuć — wystarczy śledzić znaki: $(+,+)$ po zmianie znaku $y$ daje $(+,-)$ , czyli ćwiartkę IV, i tak dalej.

Trzy obrazy jednego punktu

1
Zadanie: dany jest punkt $P = (-4, 5)$ . Wyznacz punkt $P_1$ symetryczny do $P$ względem osi $OX$ , punkt $P_2$ symetryczny do $P$ względem osi $OY$ oraz punkt $P_3$ symetryczny do $P$ względem początku układu współrzędnych.
$P = (-4, 5)$
2
Krok pierwszy: symetria względem osi $OX$ . Zmienia się znak drugiej współrzędnej, pierwsza zostaje.
$P_1 = (-4, -5)$
3
Kontrola: $P$ leżał w II ćwiartce (minus, plus), a $P_1$ ma znaki (minus, minus) — III ćwiartka, dokładnie „pod wodą” względem osi $OX$ . Zgadza się.
$(-, +) \to (-, -) \; \checkmark$
4
Krok drugi: symetria względem osi $OY$ . Zmienia się znak pierwszej współrzędnej, druga zostaje.
$P_2 = (4, 5)$
5
Kontrola: obraz przeszedł z II ćwiartki do I — odbicie w pionowym lustrze przenosi lewo na prawo, wysokość bez zmian.
$(-, +) \to (+, +) \; \checkmark$
6
Krok trzeci: symetria względem początku układu. Obie współrzędne zmieniają znak.
$P_3 = (4, -5)$
7
Kontrola krzyżowa: $P_3$ powinien być też obrazem $P_1$ względem osi $OY$ (dwa odbicia = symetria środkowa). $P_1 = (-4, -5)$ , zmieniamy znak $x$ : $(4, -5)$ . To dokładnie $P_3$ !
$(-4, -5) \to (4, -5) = P_3 \; \checkmark$
Wskazówka
Zawsze sprawdzaj ćwiartkę obrazu — jeden rzut oka wyłapuje zgubiony minus.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Punkt $A = (-5, 2)$ odbito symetrycznie względem osi $OX$ . Podaj drugą współrzędną obrazu.

A = (-5, 2)

Pułapka! Który znak się zmienia?

Błąd numer jeden na egzaminie: zmiana znaku nie tej współrzędnej, co trzeba.

Odruch podpowiada: „symetria względem osi $OX$ , czyli zmieniam $x$ ”. Dokładnie odwrotnie! Odbijając względem osi $OX$ (poziomej), punkt przeskakuje nad nią lub pod nią — zmienia się wysokość, czyli $y$ .

Mnemotechnika: zmienia się ta współrzędna, której nie ma w nazwie osi. Odbijasz względem $OX$ — $x$ zostaje. Względem $OY$ — zostaje $y$ .

Pułapka! Dwa minusy tam, gdzie miał być jeden

Błąd drugi: zmiana obu znaków przy odbiciu względem osi.

$(3, 2) \to (-3, -2)$ to symetria względem początku układu (obrót o $180°$ ), a nie względem którejkolwiek osi. Jedna oś — jeden znak. Punkt $(0,0)$ — oba znaki.

Błąd trzeci: gubienie minusa, gdy współrzędna już jest ujemna.

Obraz punktu $(-3, -4)$ względem osi $OY$ to $(3, -4)$ : minus przy $x$ znika (zmiana znaku liczby ujemnej daje dodatnią), a minus przy $y$ zostaje. Częsta pomyłka to napisanie $(3, 4)$ — czyli przypadkowe „poprawienie” także drugiej współrzędnej.

Pułapka! Przestawione współrzędne i punkt na osi

Błąd czwarty: zamiana współrzędnych miejscami.

$(3, 5) \to (5, 3)$ to nie jest żadna z naszych trzech symetrii! Żadna z nich nie przestawia współrzędnych — one tylko zmieniają znaki.

Błąd piąty: uznanie punktu na osi za nieruchomy przy KAŻDYM odbiciu. Punkt $(0, 7)$ leży na osi $OY$ , więc względem niej stoi w miejscu — ale względem osi $OX$ przeskakuje na $(0, -7)$ .

Odbijamy trójkąt względem początku układu

Trójkąt ABC i jego obraz po obrocie o 180° wokół punktu (0, 0)

1
Zadanie: trójkąt ma wierzchołki $A = (1, 2)$ , $B = (4, 1)$ i $C = (2, 4)$ . Wyznacz współrzędne wierzchołków trójkąta $A'B'C'$ symetrycznego względem początku układu współrzędnych i sprawdź, że długość boku $AB$ się nie zmieniła.
$A(1,2), \; B(4,1), \; C(2,4)$
2
Krok pierwszy: symetria względem początku układu zmienia znaki obu współrzędnych. Wierzchołek $A$ .
$A' = (-1, -2)$
3
Wierzchołek $B$ .
$B' = (-4, -1)$
4
Wierzchołek $C$ .
$C' = (-2, -4)$
5
Cały trójkąt przeskoczył z I ćwiartki do III — jak obraz obrócony o pół obrotu wokół punktu $(0,0)$ .
$\text{I} \to \text{III}$
6
Krok drugi: długość boku $AB$ . Różnice współrzędnych punktów $A(1,2)$ i $B(4,1)$ wynoszą 3 i 1.
$|AB| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$
7
Długość boku $A'B'$ . Różnice współrzędnych punktów $A'(-1,-2)$ i $B'(-4,-1)$ to $-3$ oraz $1$ — co do wartości znów 3 i 1.
$|A'B'| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{10}$
8
Długości są równe — symetria środkowa zachowała bok co do długości. Tak samo zachowa obwód i pole całego trójkąta.
$|A'B'| = |AB| \; \checkmark$
Wskazówka
Znaki się zmieniają, odległości nigdy. To twoja kontrola w każdym zadaniu z symetrią.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Punkt $B = (6, -1)$ odbito symetrycznie względem początku układu współrzędnych. Podaj pierwszą współrzędną obrazu.

B = (6, -1)

Ściąga do zapamiętania

Jak zmieniają się współrzędne punktu w symetrii względem osi i początku układu?

• Punkt $P = (a, b)$ : względem osi $OX$ daje $(a, -b)$ , względem osi $OY$ daje $(-a, b)$ , względem początku układu $(0,0)$ daje $(-a, -b)$
• Mnemotechnika: zmienia się ta współrzędna, której nie ma w nazwie osi — $OX$ zmienia $y$ , $OY$ zmienia $x$ , a punkt $(0,0)$ zmienia obie
• Symetria względem $(0,0)$ to symetria środkowa, czyli obrót o $180°$ ; wychodzi też ze złożenia odbić względem obu osi
• Punkt leżący na osi jest nieruchomy tylko względem swojej osi
• Uwaga na minusy: obrazem $(-3, -4)$ względem $OY$ jest $(3, -4)$ , a nie $(3, 4)$
• Symetrie zachowują długości, obwody i pola

Sprawdź się!

Punkt $P = (5, -3)$ odbito symetrycznie względem osi $OX$ . Jakie współrzędne ma obraz?

Punkt $K = (-2, -7)$ odbito symetrycznie względem osi $OY$ . Jakie współrzędne ma obraz?

Punkt $L = (-6, 1)$ odbito symetrycznie względem początku układu współrzędnych. Jakie współrzędne ma obraz?

Punkt $M = (4, 0)$ odbito symetrycznie względem osi $OX$ . Gdzie leży obraz?

Punkt $P$ leży w II ćwiartce. W której ćwiartce leży jego obraz w symetrii względem początku układu współrzędnych?

Punkt $(a, b)$ odbito najpierw względem osi $OX$ , a otrzymany obraz — względem osi $OY$ . Jaki jest końcowy wynik?

Punkty $A = (2, 5)$ i $B = (2, -5)$ są symetryczne względem...

Następny temat

Środek odcinka w układzie współrzędnych