Symetria środkowa

1. 1

   Poprowadź prostą przez punkty $A$ i $S$. Obraz $A'$ będzie leżał właśnie na niej — to pierwsza część definicji.

   $$A, S, A' \text{ na jednej prostej}$$
2. 2

   Zmierz odległość $|AS|$, czyli drogę od punktu do środka symetrii.

   $$|AS|$$
3. 3

   Odłóż taką samą odległość za punktem $S$, po jego drugiej stronie — tam leży $A'$. Mówiąc obrazowo: idziesz z $A$ do $S$, a potem jeszcze raz tyle samo w tę samą stronę.

   $$|SA'| = |AS|$$
4. 4

   Na kratkach jest jeszcze prościej. Jeśli z $A$ do $S$ idzie się 3 kratki w prawo i 1 w dół, to z $S$ do $A'$ idzie się znowu 3 kratki w prawo i 1 w dół.

5. 5

   Przypadek szczególny: obrazem środka symetrii jest on sam. Punkt $S$ to jedyny punkt stały tej symetrii.

   $$S' = S$$
6. 6

   I wniosek do zadań, bliźniaczo podobny do tego z symetrii osiowej: cały odcinek $AA'$ jest dwa razy dłuższy od $AS$.

   $$|AA'| = 2 \cdot |AS|$$

Wszystkie 6 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie: na kratkowanej kartce zaznaczono punkt $S$ i trójkąt $ABC$. Z punktu $A$ do $S$ idzie się 3 kratki w prawo i 1 w górę. Z punktu $B$ do $S$: 1 kratkę w prawo i 2 w górę. Z punktu $C$ do $S$: 2 kratki w prawo i 3 w dół. Narysuj obraz trójkąta w symetrii względem punktu $S$.

   $$A, B, C \to A', B', C'$$
2. 2

   Krok pierwszy: punkt $A$. Droga z $A$ do $S$ to 3 kratki w prawo i 1 w górę. Obraz $A'$ leży za środkiem, po przebyciu tej samej drogi jeszcze raz: z $S$ idziemy 3 kratki w prawo i 1 w górę.

   $$S \text{ srodkiem } AA'$$
3. 3

   Sprawdzenie dla $A$: punkty $A$, $S$, $A'$ leżą na jednej prostej, a $S$ dzieli odcinek $AA'$ na połowy. Zgadza się z definicją.

   $$|AS| = |SA'| \; \checkmark$$
4. 4

   Krok drugi: punkt $B$. Z $B$ do $S$: 1 w prawo, 2 w górę — więc z $S$ do $B'$: znowu 1 w prawo i 2 w górę.

   $$S \text{ srodkiem } BB'$$
5. 5

   Krok trzeci: punkt $C$. Z $C$ do $S$: 2 w prawo, 3 w dół — więc z $S$ do $C'$: 2 w prawo i 3 w dół.

   $$S \text{ srodkiem } CC'$$
6. 6

   Krok czwarty: łączymy $A'$, $B'$, $C'$. Obraz to trójkąt przystający do $ABC$, ale obrócony o pół obrotu — „do góry nogami”.

   $$\triangle A'B'C' \cong \triangle ABC$$
7. 7

   Kontrola: bok $A'B'$ powinien być równoległy do $AB$ i tej samej długości. Na kratkach oba przechodzą 2 kratki w bok i 1 w pion — tylko w przeciwnych kierunkach. Zgadza się.

   $$A'B' \parallel AB, \; |A'B'| = |AB| \; \checkmark$$

Wszystkie 7 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie: punkty $A'$ i $B'$ są obrazami punktów $A$ i $B$ w symetrii względem punktu $S$. Wiadomo, że $|AA'| = 14$ cm oraz $|AB| = 9$ cm. Oblicz $|AS|$ oraz $|A'B'|$.

   $$|AA'| = 14, \quad |AB| = 9$$
2. 2

   Krok pierwszy: odcinek $AS$. Punkt $S$ jest środkiem odcinka $AA'$, więc dzieli go na dwie równe połowy.

   $$|AS| = \frac{14}{2} = 7 \text{ cm}$$
3. 3

   Krok drugi: odcinek $A'B'$. Symetria środkowa jest izometrią — zachowuje długości wszystkich odcinków.

   $$|A'B'| = |AB|$$
4. 4

   Stąd wynik.

   $$|A'B'| = 9 \text{ cm}$$
5. 5

   Dodatkowo wiemy, że odcinek $A'B'$ jest równoległy do $AB$ — obrazem prostej w symetrii środkowej jest prosta do niej równoległa.

   $$A'B' \parallel AB$$
6. 6

   Kontrola: $|AS| = 7$, więc $|SA'| = 7$ i razem $7 + 7 = 14 = |AA'|$. Wszystko się zgadza.

   $$7 + 7 = 14 \; \checkmark$$

Wszystkie 6 kroków odsłonięte.