Liczba pi — skąd się wzięła

około 12 minut

W tej lekcji1/15

Cześć! Nazywam się Pi-otrek nie bez powodu — dziś poznasz moją ulubioną liczbę. Weź dowolny okrągły przedmiot: kubek, monetę, talerz. Zmierz sznurkiem jego obwód, potem zmierz szerokość. Podziel jedno przez drugie. Zawsze, bez wyjątku, wyjdzie mniej więcej 3,14. Dla kubka, dla monety, dla koła młyńskiego i dla orbity planety. To jedna z najbardziej zdumiewających prawidłowości w matematyce.

Ta sama liczba dla każdego koła na świecie

Weź jakiekolwiek koło i podziel jego obwód przez średnicę. Wynik zawsze jest ten sam:

π to ile razy średnica mieści się w obwodzie obwód ≈ 6,28

$\frac{\text{obwod}}{\text{srednica}} = \pi \approx 3{,}14$

Tę stałą oznaczamy grecką literą $\pi$ (czytamy: pi). Nie zależy ona od wielkości koła — dokładnie tak samo wychodzi dla obrączki i dla stadionu.

Przedmiot	Średnica	Obwód	Iloraz
moneta	2 cm	około 6,28 cm	3,14
talerz	20 cm	około 62,8 cm	3,14
basen	10 m	około 31,4 m	3,14

Obwód to nieco ponad trzy średnice

Co to praktycznie znaczy? Obwód każdego koła jest nieco ponad trzy razy dłuższy od jego średnicy. To bardzo użyteczna intuicja — pozwala oszacować wynik, zanim jeszcze zaczniesz liczyć.

Spróbuj sam: weź kubek i zmierz sznurkiem obwód. Potem przyłóż ten sznurek wzdłuż średnicy kubka. Zmieści się dokładnie trzy razy i zostanie jeszcze mały kawałek. Ten kawałek to właśnie owe $0{,}14$ .

Jakiego przybliżenia używamy w szkole

W zadaniach szkolnych używamy przybliżenia $\pi \approx 3{,}14$ . Czasem, gdy liczby na to pozwalają, wygodniejszy jest ułamek $\frac{22}{7}$ — też daje około 3,14.

Liczba, która nigdy się nie kończy

Pi ma własność, która czyni ją wyjątkową: jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe.

$\pi = 3{,}14159265358979\ldots$

Znasz już liczby o nieskończonym rozwinięciu — na przykład $\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots$ . Ale tam cyfry się powtarzają. W liczbie pi nie powtarzają się nigdy. Nie ma w nich żadnego wzoru ani rytmu.

Pi nie jest ułamkiem zwykłym

Z tego wynika bardzo ważna konsekwencja: pi nie da się zapisać jako ułamek zwykły. Nie istnieją takie dwie liczby całkowite, których iloraz dałby dokładnie pi. Ułamek $\frac{22}{7}$ jest tylko przybliżeniem — dobrym, ale nie dokładnym.

Dwa sposoby zapisu odpowiedzi

Dlatego w zadaniach spotkasz dwa sposoby zapisu odpowiedzi:

Zapis	Kiedy używamy
$10\pi$ cm	odpowiedź dokładna, gdy zadanie nie każe przybliżać
$31{,}4$ cm	odpowiedź przybliżona, gdy podano $\pi \approx 3{,}14$

Zapis z symbolem $\pi$ jest dokładniejszy — nie tracimy w nim nic. Zapis dziesiętny jest wygodniejszy, gdy trzeba sobie coś wyobrazić albo coś zmierzyć.

Ciekawostka: komputery policzyły już ponad sto bilionów cyfr rozwinięcia pi. Do obliczeń inżynierskich w zupełności wystarcza kilkanaście, a w szkole — dwie.

Doświadczenie ze sznurkiem

Sznurek zdjęty z puszki i średnica tej samej puszki, przyłożone do tej samej linijki

1
Zróbmy to doświadczenie razem. Bierzemy okrągłą puszkę o średnicy 10 cm i owijamy ją sznurkiem dokładnie raz dookoła.
$d = 10 \text{ cm}$
2
Krok pierwszy: prostujemy sznurek i mierzymy go linijką. Wychodzi mniej więcej 31 i pół centymetra.
$\text{obwod} \approx 31{,}4 \text{ cm}$
3
Krok drugi: dzielimy obwód przez średnicę. To właśnie ta operacja, która zawsze daje pi.
$31{,}4 : 10 = 3{,}14$
4
Krok trzeci: sprawdzamy, czy dla innego przedmiotu wyjdzie to samo. Bierzemy monetę o średnicy 2 cm i mierzymy jej obwód.
$d = 2 \text{ cm}, \quad \text{obwod} \approx 6{,}28 \text{ cm}$
5
Dzielimy tak samo jak poprzednio.
$6{,}28 : 2 = 3{,}14$
6
Ten sam wynik, mimo że moneta jest pięć razy mniejsza od puszki. I tak będzie dla każdego koła, jakie kiedykolwiek zmierzysz.
$\pi \approx 3{,}14$
7
Odwróćmy teraz rachunek. Skoro obwód podzielony przez średnicę daje pi, to obwód musi być równy średnicy pomnożonej przez pi. Tak właśnie powstaje wzór, którego użyjemy w kolejnej lekcji.
$\text{obwod} = \pi \cdot d$
Wskazówka
Wzór na obwód nie spadł z nieba. Wynika wprost z tego doświadczenia ze sznurkiem.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Koło ma średnicę 5 cm. Ile mniej więcej wynosi jego obwód? Przyjmij $\pi \approx 3$ i podaj wynik w centymetrach.

\text{obwod} \approx 3 \cdot 5

Pułapka! Traktowanie pi jak zwykłej liczby 3,14

Zapis $\pi \approx 3{,}14$ zawiera znak przybliżenia, a nie równości — i to nie przypadek. Pi to nie jest 3,14, tylko wygodne zaokrąglenie do dwóch miejsc.

Dlatego przybliżone są też wyniki. Odpowiedź „obwód wynosi 31,4 cm” jest poprawna, ale dokładniej byłoby 31,4159 cm.

Pułapka! Pi to nie ułamek 22/7

Drugi błąd: przekonanie, że pi jest ułamkiem $\frac{22}{7}$ . To tylko przybliżenie, przypadkiem bardzo dobre. Sprawdź: $22 : 7 = 3{,}142857\ldots$ , a pi to $3{,}141592\ldots$ — różnią się już na trzecim miejscu po przecinku.

Pułapka! Promień zamiast średnicy

Trzeci błąd, rachunkowy: mnożenie pi przez promień zamiast przez średnicę przy liczeniu obwodu. Zależność $\pi = \frac{\text{obwod}}{\text{srednica}}$ dotyczy średnicy. Wzór z promieniem musi mieć dodatkową dwójkę: $L = 2\pi r$ .

Zapis	Poprawność
$\pi = 3{,}14$	nieścisłe, to przybliżenie
$\pi \approx 3{,}14$	poprawne
obwód $= \pi \cdot d$	poprawne
obwód $= \pi \cdot r$	błąd, brakuje dwójki

Szacowanie, które ratuje przed błędem

Koło rowerowe o średnicy 70 cm — obwód musi wyjść nieco ponad trzy razy tyle

1
Znajomość pi pozwala szybko sprawdzić, czy wynik ma sens. Zadanie: koło rowerowe ma średnicę 70 cm. Ktoś policzył, że jego obwód wynosi 2198 cm. Czy to możliwe?
$d = 70 \text{ cm}$
2
Szacujemy w pamięci: obwód to około trzy średnice.
$3 \cdot 70 = 210 \text{ cm}$
3
Spodziewamy się więc wyniku w okolicach 210 cm, czyli nieco ponad dwa metry. A ktoś podał 2198 cm, czyli prawie 22 metry. To dziesięć razy za dużo.
$2198 \gg 210$
4
Gdzie leży błąd? Prawdopodobnie w przecinku. Poprawny rachunek to $3{,}14 \cdot 70$ , a nie $31{,}4 \cdot 70$ .
$3{,}14 \cdot 70 = 219{,}8 \text{ cm}$
5
Poprawna odpowiedź to 219,8 cm, czyli około 2,2 metra. Szacowanie dało 210 — bardzo blisko.
$219{,}8 \approx 210 \; \checkmark$
6
Przy okazji dowiadujemy się czegoś ciekawego: jeden pełny obrót koła rowerowego przesuwa rower o ponad dwa metry. Żeby przejechać kilometr, koło musi obrócić się około 455 razy.
$100000 : 219{,}8 \approx 455$
7
Zapamiętaj tę technikę: przed każdym rachunkiem z pi oszacuj wynik, mnożąc przez trzy. Jeśli prawdziwy wynik odbiega o rząd wielkości, gdzieś jest błąd.
$\text{szacuj przez } 3$
Wskazówka
Mnożenie przez trzy zajmuje sekundę i wyłapuje każdy błąd przecinka.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Obwód pewnego koła wynosi 62,8 cm, a jego średnica 20 cm. Ile wynosi iloraz obwodu przez średnicę?

\frac{62{,}8}{20}

Ściąga do zapamiętania

Co to jest liczba pi?

PI to iloraz OBWODU przez ŚREDNICĘ — ten sam dla KAŻDEGO koła na świecie. W przybliżeniu 3,14 (albo 22/7). Praktyczna intuicja: obwód to nieco ponad TRZY średnice — użyj tego do szacowania. Rozwinięcie pi jest NIESKOŃCZONE i NIEOKRESOWE, więc nie da się jej zapisać ułamkiem zwykłym; 3,14 to tylko przybliżenie (piszemy znak około, nie równości). Odpowiedź z symbolem pi, np. 10 pi cm, jest DOKŁADNA; 31,4 cm to już zaokrąglenie.

Sprawdź się!

Co otrzymamy, dzieląc obwód dowolnego koła przez jego średnicę?

Koło ma średnicę 10 cm. Ile mniej więcej wynosi jego obwód?

Który zapis jest ściśle poprawny?

Czym rozwinięcie liczby pi różni się od rozwinięcia $\frac{1}{3}$ ?

Uczeń policzył, że koło o średnicy 20 cm ma obwód 628 cm. Jak szybko rozpoznać błąd?

Następny temat

Długość okręgu