Mnożenie sum algebraicznych

1. 1

   Ile wynosi $(x + 2)(x + 3)$? Potraktuj drugi nawias jak jedną liczbę i rozbij pierwszy.

   $$(x + 2)(x + 3) = x(x+3) + 2(x+3)$$
2. 2

   Po opuszczeniu nawiasów masz cztery iloczyny, po jednym z każdej pary wyrazów.

   $$x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$$
3. 3

   Te same cztery iloczyny można wypisać od razu, każdy z każdym. Pierwszy z pierwszym:

   $$x \cdot x = x^2$$
4. 4

   Pierwszy z drugim:

   $$x \cdot 3 = 3x$$
5. 5

   Drugi z pierwszym:

   $$2 \cdot x = 2x$$
6. 6

   Drugi z drugim:

   $$2 \cdot 3 = 6$$
7. 7

   Suma czterech iloczynów, a po redukcji wyrazów podobnych wynik końcowy.

   $$x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$$

Wszystkie 7 kroków odsłonięte.

1. 1

   Drugim wyrazem pierwszego nawiasu jest $-2$, nie $2$.

   $$(x - 2)(x + 5)$$
2. 2

   Wypisujemy cztery iloczyny. Pierwszy z pierwszym:

   $$x \cdot x = x^2$$
3. 3

   Pierwszy z drugim:

   $$x \cdot 5 = 5x$$
4. 4

   Drugi z pierwszym — minus wędruje razem z dwójką:

   $$-2 \cdot x = -2x$$
5. 5

   Drugi z drugim:

   $$-2 \cdot 5 = -10$$
6. 6

   Po redukcji wyrazów podobnych dostajemy wynik.

   $$x^2 + 5x - 2x - 10 = x^2 + 3x - 10$$
7. 7

   Oba wyrazy ujemne dają dodatni iloczyn. Ostatni iloczyn to $-3 \cdot (-4) = +12$.

   $$(x - 3)(x - 4) = x^2 - 7x + 12$$

Wszystkie 7 kroków odsłonięte.

1. 1

   Kontrola przez podstawienie działa tu wyjątkowo dobrze. Podstaw $x = 1$ do obu postaci wyrażenia.

2. 2

   Najpierw postać z nawiasami.

   $$(1+2)(1+3) = 3 \cdot 4 = 12$$
3. 3

   Teraz postać po wymnożeniu.

   $$1 + 5 + 6 = 12$$
4. 4

   Zgadza się, więc mnożenie było poprawne.

5. 5

   Tą samą metodą wykryjesz błąd. Gdyby ktoś zapisał $x^2 + 6$, podstawienie dałoby siódemkę zamiast dwunastki.

   $$1 + 6 = 7 \ne 12$$

Wszystkie 5 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie: wykonaj mnożenie i uprość wynik.

   $$(2x - 3)(x + 4)$$
2. 2

   Wypisujemy wyrazy ze znakami. Pierwszy nawias: $2x$ oraz minus trzy. Drugi: $x$ oraz plus cztery.

   $$\{2x, -3\} \times \{x, +4\}$$
3. 3

   Iloczyn pierwszy: pierwszy wyraz razy pierwszy wyraz.

   $$2x \cdot x = 2x^2$$
4. 4

   Iloczyn drugi: pierwszy razy drugi.

   $$2x \cdot 4 = 8x$$
5. 5

   Iloczyn trzeci: drugi razy pierwszy. Minus wędruje razem z trójką.

   $$-3 \cdot x = -3x$$
6. 6

   Iloczyn czwarty: drugi razy drugi.

   $$-3 \cdot 4 = -12$$
7. 7

   Zapisujemy wszystkie cztery. Sprawdzamy liczbę: dwa razy dwa to cztery — komplet.

   $$2x^2 + 8x - 3x - 12$$
8. 8

   Redukujemy wyrazy podobne — dwa środkowe.

   $$8x - 3x = 5x$$
9. 9

   Wynik końcowy.

   $$2x^2 + 5x - 12$$
10. 10

    Sprawdzenie dla $x = 2$. Pierwotne: $(4-3)(2+4) = 1 \cdot 6 = 6$. Wynik: $8 + 10 - 12 = 6$. Zgadza się.

    $$6 = 6 \; \checkmark$$

Wszystkie 10 kroków odsłonięte.

1. 1

   Wracamy do zadania z początku. Działka ma $x$ na $y$ metrów. Wydłużamy ją o 3 m i poszerzamy o 2 m. Jakie będzie nowe pole?

   $$P_{\text{nowe}} = (x + 3)(y + 2)$$
2. 2

   Mnożymy każdy z każdym — cztery iloczyny.

   $$x \cdot y + x \cdot 2 + 3 \cdot y + 3 \cdot 2$$
3. 3

   Zapisujemy wynik.

   $$xy + 2x + 3y + 6$$
4. 4

   Każdy składnik ma sens geometryczny: $xy$ to stara działka, $2x$ i $3y$ to dwa dobudowane pasy, a szóstka to narożnik, o którym najłatwiej zapomnieć.

   $$xy + 2x + 3y + 6$$
5. 5

   Konkretne liczby: $x = 10$ m, $y = 8$ m. Stare pole to 80 m kwadratowych.

   $$10 \cdot 8 = 80$$
6. 6

   Nowe wymiary to 13 m na 10 m, więc pole liczone wprost wynosi 130.

   $$13 \cdot 10 = 130$$
7. 7

   Ze wzoru: $80 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 8 + 6$.

   $$80 + 20 + 24 + 6 = 130$$
8. 8

   Zgadza się. Przyrost to 50 metrów kwadratowych, a bez narożnika wyszłoby tylko 44 — i to jest ten kawałek, który znika przy mnożeniu tylko dwóch wyrazów.

   $$130 - 80 = 50 \text{ m}^2$$

Wszystkie 8 kroków odsłonięte.