Pole powierzchni prostopadłościanu

około 15 minut

W tej lekcji1/16

Pakujesz prezent i nagle pytanie: starczy tego papieru czy trzeba biec po drugą rolkę? Albo tata mówi, że kupuje farbę na ściany Twojego pokoju i pyta, ile metrów kwadratowych trzeba pomalować. W obu przypadkach chodzi o dokładnie to samo: ile powierzchni ma bryła z zewnątrz. To właśnie pole powierzchni — i dziś nauczysz się je liczyć.

Pole powierzchni to suma pól wszystkich ścian

Weź do ręki pudełko po butach. Ile ma ścian? Policz: dół, góra, przód, tył, lewa i prawa. Razem sześć ścian — i każda z nich jest prostokątem.

Pudełko po butach: z sześciu ścian naraz widać tylko trzy

Ściany są parami jednakowe — i to skraca robotę

Jest sprytna oszczędność. Ściany prostopadłościanu są parami jednakowe: dół jest identyczny jak góra, przód jak tył, a lewy bok jak prawy. Dlatego wystarczy policzyć trzy różne ściany, a resztę załatwi mnożenie przez 2.

Pole powierzchni to nie objętość

Zanim pójdziemy dalej, jedno rozróżnienie, które myli najwięcej piątoklasistów: pole powierzchni mówi, ile materiału trzeba na opakowanie bryły z zewnątrz (jednostki $\text{cm}^2$ ), a objętość mówi, ile się w niej mieści w środku (jednostki $\text{cm}^3$ ). Papier na pudełko to pole, sok wlany do pudełka to objętość.

Jednostka jest podpowiedzią, a nie ozdobą: dwójka w górze oznacza, że mnożyliśmy dwie długości — bok razy bok.

To samo pudełko od strony objętości: liczba w centymetrach sześciennych mówi, ile się w nim mieści objętość 60 cm³

Rozłóż pudełko na siatkę i policz ściany po kolei

Najlepszy sposób, żeby zobaczyć wszystkie sześć ścian naraz, to rozciąć pudełko wzdłuż krawędzi i rozprostować je na stole. Powstaje siatka — sześć prostokątów leżących płasko obok siebie. Nic nie ucieka za róg, nic się nie chowa z tyłu.

Pole powierzchni = suma pól wszystkich sześciu ścian siatki

Nasze pudełko: 5 na 4 na 3 centymetry

Weźmy konkretne pudełko o wymiarach $a = 5$ cm, $b = 4$ cm i $c = 3$ cm. Litera $a$ to długość, $b$ to szerokość, a $c$ to wysokość. Poniżej widzisz jedną z jego ścian — dolną, o bokach $5$ i $4$ .

Dolna ściana pudełka — jeden z sześciu prostokątów siatki pole: 20 cm²

Trzy pary ścian w jednej tabeli

A teraz policzmy wszystkie ściany, para po parze:

Para ścian	Wymiary	Pole jednej	Dwie razem
dół i góra	$5 \cdot 4$	$20$	$40$
przód i tył	$5 \cdot 3$	$15$	$30$
lewy i prawy bok	$4 \cdot 3$	$12$	$24$

Sumujemy ostatnią kolumnę:

$40 + 30 + 24 = 94$

Czyli $P = 94\,\text{cm}^2$ . Tyle papieru zużyjesz na oklejenie tego pudełka.

Skąd bierze się wzór na pole powierzchni

1
A teraz spójrz na to, co przed chwilą zrobiliśmy. Trzy razy policzyliśmy pole ściany, trzy razy pomnożyliśmy przez 2 i dodaliśmy. To samo można zapisać krócej.
$P = 2 \cdot (a \cdot b) + 2 \cdot (b \cdot c) + 2 \cdot (a \cdot c)$
2
Dwójka powtarza się w każdym składniku, więc wyciągamy ją przed nawias.
$P = 2 \cdot (ab + bc + ac)$
3
Sprawdźmy na naszych liczbach. Zgadza się co do jednego centymetra kwadratowego.
$2 \cdot (20 + 12 + 15) = 2 \cdot 47 = 94$
4
Ten wzór nie spadł z nieba — jest skrótem zapisu tego, co i tak robisz na siatce. Jeśli kiedykolwiek go zapomnisz, narysuj siatkę i policz sześć prostokątów. Wyjdzie dokładnie to samo.
$P = 94\,\text{cm}^2$
Wskazówka
Wzór to notatka ze skrótu, a nie zaklęcie do wykucia.

Wszystkie kroki za Tobą!

Sześcian: sześć jednakowych kwadratów

A sześcian? To prostopadłościan, w którym wszystkie krawędzie są równe, więc wszystkie sześć ścian to identyczne kwadraty o polu $a \cdot a = a^2$ . Sześć jednakowych kawałków, czyli:

$P = 6 \cdot a^2$

Siatka sześcianu o krawędzi 4 cm: sześć identycznych kwadratów

Pole powierzchni krok po kroku

1
Wypisujemy trzy wymiary pudełka: długość, szerokość i wysokość.
$a = 5, \quad b = 4, \quad c = 3$
2
Liczymy pole dolnej ściany — długość razy szerokość. Górna jest taka sama.
$a \cdot b = 5 \cdot 4 = 20$
3
Liczymy pole bocznej ściany — szerokość razy wysokość. Drugi bok jest identyczny.
$b \cdot c = 4 \cdot 3 = 12$
4
Liczymy pole przedniej ściany — długość razy wysokość. Tylna jest jej bliźniaczką.
$a \cdot c = 5 \cdot 3 = 15$
5
Dodajemy pola trzech różnych ścian. To dopiero połowa całej powierzchni!
$20 + 12 + 15 = 47$
6
Mnożymy przez 2, bo każda ściana ma swoją bliźniaczkę po drugiej stronie.
$2 \cdot 47 = 94$
7
Dopisujemy jednostkę pola, z dwójką w górze. Gotowe.
$P = 94\,\text{cm}^2$
Wskazówka
Trzy różne ściany, suma, razy dwa. Ta ostatnia dwójka jest najważniejsza!

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Pudełko na kredki ma wymiary 6 cm, 3 cm i 2 cm. Ile centymetrów kwadratowych papieru potrzeba na oklejenie go w całości? Wpisz samą liczbę.

P = 2 \cdot (ab + bc + ac)

cm²

Pułapka! Trzy ściany zamiast sześciu

Najczęstszy błąd w tym temacie wygląda zawsze tak samo: uczeń widzi trzy wymiary, mnoży je parami, dodaje — i stawia kropkę. Popatrz na pudełko $5 \times 4 \times 3$ :

Tak jest źle — trzy ściany i koniec:

$20 + 12 + 15 = 47$ , więc rzekomo $47\,\text{cm}^2$

Tak jest dobrze — bo ścian jest sześć:

$2 \cdot (20 + 12 + 15) = 2 \cdot 47 = 94$ , czyli $P = 94\,\text{cm}^2$

Wynik wyszedł dokładnie dwa razy za mały. Gdyby chodziło o papier na prezent, zabrakłoby go równo na połowę pudełka.

Skąd bierze się ta pomyłka

Skąd ta pomyłka? Prostopadłościan ma trzy różne wymiary, więc mózg podpowiada, że i ścian są trzy. Ale każda ściana, którą widzisz, ma swoją bliźniaczkę po drugiej stronie, ukrytą przed Twoim wzrokiem: za dolną kryje się górna, za przednią tylna, za lewym bokiem prawy. Trzy widoczne plus trzy schowane — sześć.

Sześcian, czyli najkrótszy rachunek świata

1
Mamy kostkę do gry o krawędzi 4 cm. Wszystkie krawędzie sześcianu są równe.
$a = 4$
2
Każda ściana to kwadrat o boku 4, więc jej pole to bok razy bok.
$a^2 = 4 \cdot 4 = 16$
3
Ścian jest sześć i wszystkie są jednakowe — nie trzeba liczyć trzech różnych par.
$P = 6 \cdot a^2$
4
Mnożymy pole jednej ściany przez 6 i mamy wynik.
$6 \cdot 16 = 96$
5
Sprawdzenie długim wzorem: dla $a = b = c = 4$ mamy $2 \cdot (16 + 16 + 16) = 2 \cdot 48 = 96$ . Ten sam wynik, bo $P = 6a^2$ to po prostu skrót dla sześcianu.
$P = 96\,\text{cm}^2$
Wskazówka
Sześcian to prostopadłościan, który się nie wygłupia — wszystkie ściany identyczne.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Drewniana skrzynka ma wymiary 6 cm, 5 cm i 4 cm, ale nie ma wieczka — górnej ściany o wymiarach 6 cm na 5 cm po prostu nie ma. Ile centymetrów kwadratowych drewna zużyto na tę skrzynkę? Wpisz samą liczbę.

P = 2 \cdot (ab + bc + ac)

cm²

Ściąga do zapamiętania

Jak obliczyć pole powierzchni prostopadłościanu?

Pole powierzchni to suma pól wszystkich sześciu ścian. Ściany są parami jednakowe, więc liczysz trzy różne, dodajesz i mnożysz przez 2: $P = 2 \cdot (ab + bc + ac)$ . Dla sześcianu wszystkie ściany są takie same, więc $P = 6 \cdot a^2$ . Przykład: $a = 5$ , $b = 4$ , $c = 3$ daje $2 \cdot (20 + 12 + 15) = 94\,\text{cm}^2$ . Najczęstszy błąd to policzenie tylko trzech ścian — wynik wychodzi wtedy dwa razy za mały. Pole powierzchni mówi, ile materiału na opakowanie ( $\text{cm}^2$ ), a objętość, ile się mieści w środku ( $\text{cm}^3$ ). Gdy zapomnisz wzoru, narysuj siatkę i policz sześć prostokątów.

Sprawdź się!

Ile ścian ma prostopadłościan i jak są ze sobą powiązane?

Prostopadłościan ma wymiary 4 cm, 3 cm i 2 cm. Ile wynosi jego pole powierzchni?

Sześcian ma krawędź długości 3 cm. Ile wynosi jego pole powierzchni?

W jakich jednostkach zapisujemy pole powierzchni prostopadłościanu?

Kuba liczył pole powierzchni pudełka o wymiarach 5 cm, 4 cm i 3 cm. Zapisał $20 + 12 + 15 = 47$ i uznał zadanie za skończone. Co poszło nie tak?

Następny temat

Objętość i jednostki objętości