Średnia arytmetyczna

około 12 minut

W tej lekcji1/13

Zosia ma z matematyki oceny 4, 5, 3 i 4. Pyta mamy: jak stoję z tego przedmiotu? Jedna liczba wystarczy, żeby odpowiedzieć! Dodajemy oceny: $4 + 5 + 3 + 4 = 16$ , ocen jest cztery, więc $16 : 4 = 4$ . Zosia stoi na czwórkę. Ta jedna liczba to średnia arytmetyczna — poznajmy ją!

Średnia = suma podzielona przez ilość liczb

Średnia arytmetyczna to jedna liczba, która zastępuje cały zestaw liczb. Mówi, ile wyszłoby każdej z nich, gdyby wszystkie były równe.

Liczymy ją zawsze w dwóch krokach:

1. dodajemy wszystkie liczby — to suma,
2. dzielimy sumę przez ILOŚĆ liczb — czyli przez to, ile ich w ogóle było.

Cztery zestawy i ich średnie

Cztery przykłady pokazują cały mechanizm w działaniu:

Zestaw liczb	Suma	Ile liczb	Średnia
4, 5, 3, 4	16	4	4
2, 6, 10	18	3	6
7, 7, 7	21	3	7
1, 9	10	2	5

Średnia to wyrównanie słupków do jednego poziomu

Wyobraź sobie oceny jako słupki różnej wysokości. Średnia to wyrównanie tych słupków: przesypujemy z wyższych do niższych, aż wszystkie będą równe.

Wyrównujemy słupki Zosi

1
Na wykresie masz oceny Zosi: cztery, piątka, trójka i czwórka.
$4, \; 5, \; 3, \; 4$
2
Słupek piątki jest o jedno oczko wyższy od czwórki, a słupek trójki o jedno niższy.
$5 - 4 = 1, \qquad 4 - 3 = 1$
3
Przesypujemy to jedno oczko z piątki do trójki — i wszystkie cztery słupki mają wysokość 4.
$4, \; 4, \; 4, \; 4$
4
Właśnie tyle wynosi średnia. Rachunek daje dokładnie ten sam wynik co przesypywanie.
$\frac{4 + 5 + 3 + 4}{4} = \frac{16}{4} = 4$
Wskazówka
Przesypywanie i dzielenie to dwa opisy jednej czynności.

Wszystkie kroki za Tobą!

Kontrola zdrowego rozsądku

Skoro wyrównujemy słupki, to poziom wyrównania nie może być niższy od najniższego słupka ani wyższy od najwyższego. Dlatego:

Średnia temperatura tygodnia krok po kroku

1
Pi-otrek zapisywał codziennie temperaturę w południe. Przez siedem dni wyszło: 19, 21, 18, 22, 20, 17 i 23 stopnie.
$19,\ 21,\ 18,\ 22,\ 20,\ 17,\ 23$
2
Krok 1: dodajemy wszystko po kolei. $19 + 21 = 40$ , potem $40 + 18 = 58$ , dalej $58 + 22 = 80$ .
$19 + 21 + 18 + 22 = 80$
3
Dodajemy resztę: $80 + 20 = 100$ , potem $100 + 17 = 117$ , na koniec $117 + 23 = 140$ . Suma to 140.
$\text{suma} = 140$
4
Krok 2: liczymy, ile liczb dodaliśmy. Pomiarów było siedem — po jednym na każdy dzień tygodnia.
$7 \text{ liczb}$
5
Krok 3: dzielimy sumę przez ilość liczb. $140 : 7 = 20$ . Średnia temperatura tygodnia to 20 stopni.
$140 : 7 = 20$
6
Sprawdzamy: najniższa temperatura to 17, najwyższa 23. Nasze 20 leży między nimi — wynik ma sens.
$17 < 20 < 23$
Wskazówka
Żadnego dnia nie było dokładnie 20 stopni, a średnia i tak wynosi 20. Średnia nie musi być jedną z liczb zestawu!

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Antek w czterech meczach koszykówki zdobył 12, 8, 15 i 9 punktów. Ile punktów zdobywał średnio na mecz?

12,\ 8,\ 15,\ 9

pkt

Pułapka! Dzielenie przez złą liczbę

Najczęstszy błąd przy średniej to podzielenie sumy przez coś innego niż ilość liczb.

Mamy liczby 2, 6 i 10. Suma to 18. Ktoś w pośpiechu dzieli przez 10, bo ta liczba stoi na końcu — i dostaje 1,8. Wynik mniejszy od najmniejszej liczby zestawu, czyli od razu widać, że coś nie gra. Poprawnie dzielimy przez ilość liczb, a liczby są trzy: $18 : 3 = 6$ .

Pułapka! Zero też się liczy

Druga pułapka: zero też się liczy. Wojtek strzelił w czterech meczach 6, 8, 0 i 6 bramek. Mecz bez bramki to nadal mecz! Liczb jest cztery, nie trzy:

Sposób liczenia	Rachunek	Wynik
poprawnie, zero się liczy	$20 : 4$	5
błędnie, zero pominięte	$20 : 3$	$\approx 6{,}7$ — więcej niż naprawdę

Zero nie zmienia sumy, ale zmienia ilość liczb — pominięte, sztucznie zawyża średnią. Błąd widać bez liczenia do końca: 6,7 bramki na mecz to więcej, niż Wojtek strzelał w większości meczów.

Zadanie odwrotne — brakuje jednej liczby

1
Kuba zagrał trzy mecze i zdobył 8, 12 oraz 11 punktów. Chce, żeby po czwartym meczu jego średnia wynosiła równo 10 punktów. Ile musi zdobyć?
$8,\ 12,\ 11,\ ?$
Jak myślisz, ile wyjdzie?
2
Idziemy od tyłu. Skoro średnia z czterech meczów ma wynosić 10, to suma punktów musi wynieść $10 \cdot 4$ .
$\text{suma} = 10 \cdot 4 = 40$
3
Teraz sprawdzamy, ile Kuba już ma: $8 + 12 = 20$ , potem $20 + 11 = 31$ .
$8 + 12 + 11 = 31$
4
Brakuje mu do czterdziestu: $40 - 31 = 9$ . W czwartym meczu musi zdobyć 9 punktów.
$40 - 31 = 9$
5
Sprawdzamy: $8 + 12 + 11 + 9 = 40$ , a $40 : 4 = 10$ . Zgadza się!
$40 : 4 = 10$
Wskazówka
Zapamiętaj ten trik: średnia razy ilość liczb daje sumę. Z tego wyliczysz każdą brakującą liczbę.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Ola ma z matematyki trzy oceny: 3, 5 i 4. Dostanie jeszcze jedną, czwartą. Jaka musi być ta ocena, żeby średnia z czterech ocen wyniosła równo 4?

3,\ 5,\ 4,\ ?

Ściąga do zapamiętania

Jak obliczyć średnią arytmetyczną?

Dodaj wszystkie liczby i podziel sumę przez ILOŚĆ tych liczb. Np. dla 4, 5, 3, 4: suma $= 16$ , liczb jest 4, więc średnia $= 16 : 4 = 4$ . Zero też jest liczbą i liczy się do ilości. Kontrola: średnia zawsze leży między najmniejszą a największą liczbą. Zadanie odwrotne: średnia $\cdot$ ilość liczb $=$ suma.

Sprawdź się!

Ile wynosi średnia arytmetyczna liczb 6, 8 i 10?

Masz liczby 3, 7, 5, 9 i 6. Przez jaką liczbę trzeba podzielić ich sumę, żeby dostać średnią?

Ile stron dziennie czytała średnio Marysia?

Uczeń policzył średnią liczb 10, 14, 16 i 20 i wyszło mu 25. Skąd od razu wiadomo, że to błąd?

Antek ma dwie oceny: 5 i 3. Dostanie trzecią. Jaka musi być, żeby średnia z trzech ocen wyniosła 4?

Następny temat

Obliczenia pieniężne — trudniejsze zadania