Siatki prostopadłościanów i sześcianów

około 12 minut

W tej lekcji1/17

Rozklej kiedyś karton po pizzy albo pudełko po butach i rozprostuj je na podłodze. Wyjdzie z tego dziwna, płaska figura z wystającymi skrzydełkami. To nie bałagan — to siatka. Każde pudełko na świecie zaczynało życie jako płaski kawałek tektury, który ktoś zaprojektował, wyciął i dopiero potem złożył. Dziś nauczysz się czytać takie wykroje i rozpoznawać, które z nich naprawdę dadzą się złożyć, a które tylko udają.

Siatka, czyli bryła rozłożona na płasko

Weź pudełko po butach i rozetnij je nożyczkami wzdłuż kilku krawędzi — tak, żeby żadna ściana nie odpadła. Potem rozprostuj wszystko na stole. To, co zostanie na blacie, to siatka prostopadłościanu: płaska figura, z której da się z powrotem złożyć tę samą bryłę.

Droga prowadzi w obie strony: pudełko można rozciąć i rozłożyć, a wyciętą siatkę zagiąć i skleić z powrotem w pudełko.

Pudełko rozcięte wzdłuż krawędzi i rozprostowane na stole

Siatka to nie rysunek bryły

Uważaj na jedną rzecz: siatka to nie jest rysunek bryły. Porównaj oba obrazki. Siatka to wykrój — plan do wycięcia, w którym każda ściana leży płasko i ma swoje prawdziwe wymiary. Nic się nie skraca, nic nie chowa za rogiem.

Rysunek bryły: krawędzie ukośne, trzy ściany schowane z tyłu — w siatce wszystkie leżą płasko

Wykroje są wokół Ciebie

Takie wykroje są wokół Ciebie częściej, niż myślisz. W fabryce opakowań ktoś układa siatki pudełek na arkuszu tektury tak, żeby zostało jak najmniej ścinków. Wycinanki w książeczkach to gotowe siatki z liniami zagięcia, a origami to ta sama sztuczka bez nożyczek.

Sześć prostokątów, parami jednakowych

Prostopadłościan ma sześć ścian, więc jego siatka ma sześć prostokątów — ani jednego więcej, ani jednego mniej. I nie są to przypadkowe prostokąty: ściany leżące naprzeciw siebie są jednakowe, więc w siatce prostokąty występują parami: dół jak góra, przód jak tył, bok jak bok.

Sześć prostokątów, parami jednakowych

Sześcian i jego najbardziej znany układ

W sześcianie wszystkie krawędzie są równe, więc wszystkie ściany to identyczne kwadraty. Siatka sześcianu to zawsze sześć jednakowych kwadratów sklejonych bokami — najbardziej znany ich układ to krzyż z rysunku.

Siatka sześcianu: sześć jednakowych kwadratów ułożonych w krzyż

Ta sama bryła ma wiele różnych siatek

Wszystko zależy od tego, gdzie przyłożysz nożyczki. Potnij pudełko wzdłuż innych krawędzi, a rozłoży się w zupełnie inny kształt — i to nadal będzie poprawna siatka tego samego pudełka. Sam sześcian ma ich aż jedenaście różnych. Siatka inna niż ta z podręcznika nie jest więc automatycznie błędna — trzeba ją sprawdzić, a to robimy w dwóch krokach.

Test na siatkę w dwóch krokach

1
Policz ściany. Musi być dokładnie sześć kwadratów (albo sześć prostokątów pasujących parami). Jeśli jest ich pięć albo siedem — koniec, to nie siatka.
$6 \text{ ścian} = 6 \text{ kwadratów}$
2
Złóż w wyobraźni. Wybierz jeden kwadrat na podłogę i po kolei podnoś sąsiadów: ten po lewej staje się lewą ścianą, ten nad nim tylną, i tak dalej. Pilnuj tylko jednego: czy któreś dwa kwadraty nie trafiają w to samo miejsce.

Wszystkie kroki za Tobą!

Sześć kwadratów to za mało

Sześć kwadratów to warunek konieczny, ale nie wystarczający — za chwilę zobaczysz porządnie wyglądający układ sześciu, z którego sześcian się nie złoży.

Rozkładamy pudełko krok po kroku

1
Stawiamy na stole zamknięte pudełko o wymiarach $6$ cm, $4$ cm i $3$ cm. Ma sześć ścian, ale gołym okiem widzimy tylko trzy — reszta chowa się z drugiej strony.
$a = 6, \quad b = 4, \quad c = 3$
2
Rozcinamy cztery pionowe krawędzie, czyli te, wzdłuż których ściany boczne stykają się ze sobą w rogach. Dół i góra na razie zostają nietknięte.
3
Rozcinamy jeszcze trzy krawędzie wokół wieczka, ale czwartą zostawiamy: górna ściana ma zostać przyklejona do tylnej i pojechać razem z nią.
4
Kładziemy przednią ścianę na kartkę — opada w dół jak otwarte drzwiczki. Ten prostokąt ląduje pod dołem.
$6 \times 3$
5
Opuszczamy lewy i prawy bok na zewnątrz. To dwa jednakowe prostokąty: jeden po lewej stronie dołu, drugi po prawej.
$4 \times 3$
6
Opuszczamy ścianę tylną do góry, a razem z nią jedzie wieczko — góra ląduje jeszcze wyżej, na końcu ramienia.
7
Rozłożone pudełko: dół w środku, ściany dookoła, góra na końcu
Patrzymy na kartkę: dół w środku, cztery ściany dookoła niego i góra na samym końcu. Razem sześć prostokątów ułożonych w krzyż.
$1 + 4 + 1 = 6$
8
Sprawdzamy pary. Dół, tył i góra leżą w jednym pionowym pasie, a dół od góry dzieli dokładnie jeden prostokąt — po złożeniu staną naprzeciw siebie. Tak samo przód i tył.
Wskazówka
Sześć ścian, trzy pary. Rozcięliśmy pudełko, a nic nie zginęło!

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Ala ułożyła sześć jednakowych kwadratów w schodki — tak jak na rysunku poniżej:

rząd	1	2	3	4	5
górny	■	■	■
dolny			■	■	■

Czy z takiego układu da się złożyć sześcian? Wpisz tak albo nie.

Pułapka! Siatka wcale nie jest tylko jedna

Z siatkami wiążą się dwa przeciwstawne przekonania — jedno za bardzo zawęża, drugie za bardzo rozszerza. Oba są nieprawdziwe.

Pułapka! Dowolne sześć kwadratów to jeszcze nie sześcian

Przekonanie drugie: każde sześć kwadratów sklejonych bokami złoży się w sześcian. Skoro ścian jest sześć i kwadratów jest sześć, to niby wszystko się zgadza. Otóż nie — kwadraty muszą jeszcze trafić w sześć różnych miejsc, a nie wpaść dwa na jedno. Prostokąt $2 \times 3$ ma równe sześć kwadratów i nie składa się wcale.

Odruch kontrolny: policz, potem złóż w głowie

Odruch kontrolny jest prosty i zawsze taki sam: najpierw policz ściany, a potem złóż układ w wyobraźni. Sama liczba sześć nic jeszcze nie gwarantuje, a inny wygląd niż w podręczniku niczego jeszcze nie przekreśla.

Sześć kwadratów, a jednak nie siatka

1
Bierzemy cztery jednakowe kwadraty ułożone w kwadrat $2$ na $2$ , a z prawej strony doklejamy jeszcze dwa: jeden do górnego, drugi do dolnego. Powstaje równiutki prostokąt $2$ na $3$ .
$2 \cdot 3 = 6$
2
Kwadratów jest sześć, więc pierwszy warunek przechodzi bez zarzutu. Nazwijmy je: górny rząd to A, B, C, a dolny D, E, F.
3
Składamy. Kwadrat E kładziemy jako podłogę — od niego zaczynamy podnosić resztę.
4
Kwadrat D podnosimy w lewo, więc zostaje lewą ścianą. Kwadrat F podnosimy w prawo — to prawa ściana. Na razie idzie gładko.
5
Kwadrat B leży nad E, więc podnosimy go do tyłu. Zostaje tylną ścianą. Mamy już podłogę i trzy ściany.
6
Teraz A, doklejone do B z lewej strony. Zaginamy je wzdłuż wspólnej krawędzi i... A ląduje dokładnie tam, gdzie już stoi D. Dwie ściany w jednym miejscu!
7
To samo dzieje się po prawej: C nachodzi na F. A miejsca na ścianę przednią i na górę zostają puste — nie ma już czym ich zakryć.
8
Wniosek: prostokąt $2$ na $3$ nie jest siatką sześcianu, chociaż ma równo sześć kwadratów. Dwa z nich marnują się na dublach, a dwie ściany bryły zostają bez pokrycia.
Wskazówka
Sześć kwadratów to dopiero początek. Muszą jeszcze trafić w sześć różnych miejsc!

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Oto siatka sześcianu: cztery kwadraty leżą jeden pod drugim w pionowym pasie i mają numery $1$ , $2$ , $3$ , $4$ licząc od góry. Do kwadratu numer $2$ doklejone są jeszcze dwa: numer $5$ z lewej strony i numer $6$ z prawej. Który kwadrat stanie naprzeciw kwadratu numer $1$ , gdy złożymy sześcian? Wpisz sam numer.

Ściąga do zapamiętania

Co to jest siatka bryły i jak sprawdzić, czy dany układ da się złożyć?

Siatka to bryła rozcięta wzdłuż krawędzi i rozprostowana na płasko — wykrój, z którego da się ją z powrotem złożyć. Siatka prostopadłościanu ma sześć prostokątów, parami jednakowych (dół i góra, przód i tył, lewy i prawy bok). Siatka sześcianu to sześć jednakowych kwadratów. Ta sama bryła ma wiele różnych siatek, bo można ją rozciąć na wiele sposobów — sam sześcian ma ich jedenaście. Żeby sprawdzić układ: najpierw policz ściany (musi być sześć), a potem złóż go w wyobraźni i sprawdź, czy któreś dwie ściany nie trafiają w to samo miejsce. Sześć kwadratów nie wystarczy: prostokąt $2 \times 3$ ma ich sześć, a przy składaniu dwa kwadraty się dublują i brakuje przodu oraz góry. Skrót: w prostym pasie kwadraty oddalone o jeden stają naprzeciw siebie, a sklejone bokiem nigdy.

Sprawdź się!

Co to jest siatka prostopadłościanu?

Z czego składa się siatka sześcianu?

Ile różnych siatek ma sześcian?

Który układ sześciu jednakowych kwadratów NIE złoży się w sześcian?

Cztery kwadraty leżą jeden pod drugim w pionowym pasie i mają numery $1$ , $2$ , $3$ , $4$ licząc od góry. Po złożeniu sześcianu naprzeciw kwadratu numer $2$ stanie:

Następny temat

Pole powierzchni prostopadłościanu