Skala — obliczanie odległości rzeczywistych i na mapie

około 15 minut

W tej lekcji1/16

Planujesz wycieczkę rowerową. Na mapie trasa ma 3 cm — tyle co dwa paznokcie. A rodzice pytają: ile to kilometrów? Odpowiedź jest w małym zapisie na dole mapy: $1:100\,000$ . Dziś nauczymy się go czytać i liczyć z niego prawdziwe odległości — do ostatniego zera.

Skala mówi, ile razy rysunek różni się od rzeczywistości

Żadna mapa nie jest wielkości kraju, a plan mieszkania nie ma szerokości korytarza. Rysunek trzeba pomniejszyć — wszędzie tyle samo razy, żeby nic się nie wykrzywiło. Ile razy? Właśnie to mówi skala.

Zapis $1:100$ czytamy: jeden do stu. Oznacza on, że $1$ cm na rysunku to $100$ cm w rzeczywistości.

100

200

300

400

500

w terenie 300 m

Skala 1:10 000 — 3 cm z mapy staje się 300 m w terenie

Która liczba dotyczy rysunku, a która terenu

Pierwsza liczba dotyczy zawsze rysunku, druga zawsze rzeczywistości. Popatrz, jak to wygląda w praktyce:

Skala	$1$ cm na rysunku to naprawdę
$1:100$	$100$ cm, czyli $1$ m
$1:1000$	$1000$ cm, czyli $10$ m
$1:50\,000$	$50\,000$ cm, czyli $500$ m
$1:100\,000$	$100\,000$ cm, czyli $1$ km

Ostatni wiersz zapamiętaj szczególnie mocno — wrócimy do niego jeszcze nie raz.

Skala zmniejszająca — mapy i plany

Skala nie zawsze pomniejsza. Czasem trzeba coś powiększyć, bo w prawdziwym rozmiarze jest za małe, żeby cokolwiek dało się na tym zobaczyć.

Skala zmniejszająca ma większą liczbę po prawej: $1:100$ , $1:50\,000$ , $1:100\,000$ . Rysunek jest mniejszy od rzeczywistości. Tak powstają mapy i plany.

Skala zmniejszająca 1:2 — rysunek jest dwa razy krótszy od przedmiotu

Skala powiększająca — mrówka i układ scalony

Skala powiększająca ma większą liczbę po lewej: $2:1$ , $10:1$ . Zapis $2:1$ znaczy, że $2$ cm na rysunku to dopiero $1$ cm w rzeczywistości — czyli rysunek jest 2 razy większy niż przedmiot. Tak rysuje się mrówkę w atlasie owadów albo schemat układu scalonego z komputera.

Skala powiększająca 2:1 — rysunek jest dwa razy dłuższy od przedmiotu

Obie rodziny skal w jednej tabeli

Poniższa tabela zbiera obie rodziny skal razem z typowym zastosowaniem.

Skala	Rodzaj	Gdzie ją spotkasz
$1:100$	zmniejszająca	plan mieszkania
$1:100\,000$	zmniejszająca	mapa turystyczna
$2:1$	powiększająca	rysunek mrówki
$10:1$	powiększająca	schemat układu scalonego

Rozpoznawanie skali bez zastanawiania

Jak je odróżnić bez zastanawiania? Popatrz, po której stronie stoi większa liczba. Większa po stronie rzeczywistości znaczy, że rzeczywistość jest większa, czyli rysunek został pomniejszony.

W zadaniach z mapami i planami prawie zawsze pracujesz ze skalą zmniejszającą — i to nią zajmiemy się w reszcie lekcji.

Z mapy w teren: najpierw mnożenie, potem jednostki

1
Mapa turystyczna ma skalę 1:100 000. Trasa z hooka ma na niej 3 cm. Zaczynamy od odczytania skali: każdy 1 cm mapy to 100 000 cm w rzeczywistości.
$1{:}100\,000 \quad \Rightarrow \quad 1\,\text{cm} \to 100\,000\,\text{cm}$
2
Idziemy z mapy do prawdziwego terenu, a teren jest większy — więc mnożymy. Zmierzone 3 cm mnożymy przez liczbę ze skali.
$3 \cdot 100\,000 = 300\,000$
3
Stop! Zanim zapiszesz odpowiedź, popatrz na jednostkę. Mapę mierzyliśmy w centymetrach, więc wynik też jest w centymetrach: 300 000 cm. Nikt tak nie mówi o trasie rowerowej, więc idziemy dalej.
$300\,000\,\text{cm}$
4
Centymetry na metry: dzielimy przez 100, bo 1 m to 100 cm. Skreślamy dwa zera i zostaje 3000 m.
$300\,000 : 100 = 3000\,\text{m}$
5
Metry na kilometry: dzielimy przez 1000, bo 1 km to 1000 m. Skreślamy trzy zera i zostaje 3 km. To jest odpowiedź.
$3000 : 1000 = 3\,\text{km}$
6
Zapamiętaj cały łańcuch jako jedną drogę: 3 cm na mapie, potem 300 000 cm, potem 3000 m, na końcu 3 km. Stąd bardzo wygodny skrót: przy skali 1:100 000 jeden centymetr na mapie to dokładnie jeden kilometr w terenie.
$3\,\text{cm} \to 300\,000\,\text{cm} \to 3000\,\text{m} \to 3\,\text{km}$
Wskazówka
Trasa ma 3 km. I zobacz — 3 cm dało 3 km. Przy skali 1:100 000 zawsze tak wychodzi!

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Na mapie w skali $1:100\,000$ droga ze szkoły do lasu ma 6 cm. Ile kilometrów ma naprawdę? Wpisz samą liczbę kilometrów.

Pułapka! Zgubione jednostki i odwrócone działanie

Pułapka pierwsza: odpowiedź zostaje w centymetrach.

Na mapie w skali $1:100\,000$ trasa ma 5 cm. Mnożymy: $5 \cdot 100\,000 = 500\,000$ . I tu wielu uczniów stawia kropkę i pisze 500 000 km. A przecież to nie są kilometry, tylko centymetry — bo w centymetrach mierzyliśmy mapę.

Łańcuch jednostek trzeba dokończyć

Łańcuch trzeba dokończyć do końca: $500\,000\,\text{cm} = 5000\,\text{m} = 5\,\text{km}$ . Poprawna odpowiedź to 5 km, a nie 500 000 czegokolwiek.

Pułapka! Dzielenie zamiast mnożenia

Pułapka druga: dzielenie zamiast mnożenia.

Bywa i tak, że ktoś liczy $5 : 100\,000$ i dostaje maleńki ułamek. Trasa rowerowa krótsza niż jeden centymetr? To niemożliwe.

Kontrola zdrowego rozsądku

Rzeczywistość jest większa niż mapa. Zawsze. Więc gdy idziesz z mapy w teren, liczba musi urosnąć. Jeśli po obliczeniu wyszła mniejsza — kierunek się pomylił i zamiast mnożenia poszło dzielenie.

I odwrotnie: gdy z terenu przechodzisz na mapę, liczba musi zmaleć, bo cały świat wciskasz na kartkę.

Przykład w drugą stronę: z terenu na mapę

1
Droga między dwiema wsiami ma 4 km. Ile centymetrów zajmie na mapie w skali 1:50 000? Idziemy z terenu na mapę, więc będziemy dzielić — ale najpierw wszystko zamieniamy na centymetry, bo skala porównuje centymetry z centymetrami.
$4\,\text{km} = 4000\,\text{m} = 400\,000\,\text{cm}$
2
Teraz dzielimy przez liczbę ze skali, czyli przez 50 000. Wychodzi 8.
$400\,000 : 50\,000 = 8$
3
Na mapie odcinek będzie miał 8 cm. Kontrola zdrowego rozsądku: z terenu na mapę liczba miała zmaleć — 4 km to 400 000 cm, a wynik ma 8 cm. Zmalała porządnie, wszystko gra.
$8\,\text{cm}$
4
Sprawdzenie w drugą stronę: 8 cm na mapie to 8 razy 50 000, czyli 400 000 cm. A 400 000 cm to 4000 m, czyli 4 km. Zgadza się z treścią zadania.
$8 \cdot 50\,000 = 400\,000\,\text{cm} = 4\,\text{km}$
Wskazówka
Zawsze mogę sprawdzić wynik, idąc tą samą drogą w przeciwną stronę. To mój ulubiony sposób na spokojną głowę.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Na mapie w skali $1:500\,000$ odległość między dwoma miastami to 6 cm. Ile kilometrów dzieli te miasta w rzeczywistości? Wpisz samą liczbę kilometrów.

Ściąga do zapamiętania

Jak liczyć odległości ze skali mapy i planu?

Skala 1:100 mówi, że 1 cm na rysunku to 100 cm w rzeczywistości. Większa liczba po prawej to skala zmniejszająca (mapy, plany), większa po lewej to powiększająca, np. 2:1 — rysunek 2 razy większy od przedmiotu. Z mapy w teren mnożymy przez liczbę ze skali, z terenu na mapę najpierw zamieniamy wymiar na centymetry, a potem dzielimy. Wynik mnożenia zawsze wychodzi w centymetrach, więc dokończ łańcuch: dzielisz przez 100 i masz metry, dzielisz przez 1000 i masz kilometry. Kontrola: z mapy w teren liczba musi urosnąć, z terenu na mapę zmaleć. Skrót: przy skali 1:100 000 jeden centymetr to jeden kilometr.

Sprawdź się!

Co oznacza zapis skali $1:100$ ?

Rysunek mrówki wykonano w skali $2:1$ . Co to znaczy?

Na mapie w skali $1:100\,000$ rzeka ma 4 cm. Ile kilometrów ma naprawdę?

Trasa ma 8 km. Ile centymetrów zajmie na mapie w skali $1:200\,000$ ?

Odcinek na mapie ma 5 cm. Która odpowiedź o odległości rzeczywistej na pewno jest błędna, zanim jeszcze cokolwiek policzysz?

Następny temat

Średnia arytmetyczna