Prostopadłościan i sześcian

około 12 minut

W tej lekcji1/12

Cześć! Rozejrzyj się dokoła. Pudełko po butach, lodówka, akwarium, cegła, kostka do gry, pokój w którym siedzisz — to wszystko prostopadłościany. Ta jedna bryła opisuje pół świata wokół Ciebie. Dziś poznamy ją porządnie: ile ma ścian, krawędzi i wierzchołków, i dlaczego sześcian jest jej najrówniejszym kuzynem.

Trzy rzeczy, z których zbudowana jest bryła

Weź do ręki pudełko i policz sam — to zajmie minutę i zapamiętasz na zawsze.

Rozcięte pudełko: wszystkie sześć ścian naraz, parami jednakowe

Element	Co to jest	Ile ma prostopadłościan
ściana	płaska powierzchnia — jak kartka	6
krawędź	odcinek, na którym stykają się dwie ściany	12
wierzchołek	punkt, w którym schodzą się krawędzie	8

Trzy wymiary opisują całą bryłę

Wszystkie ściany prostopadłościanu to prostokąty, a ściany leżące naprzeciw siebie są jednakowe. Dlatego wystarczą trzy liczby, żeby opisać całą bryłę: długość, szerokość i wysokość. Nazywamy je wymiarami i oznaczamy $a$ , $b$ , $c$ .

Prostopadłościan o wymiarach a, b, c — widać trzy ściany z sześciu, reszta jest z tyłu

Sześcian, czyli prostopadłościan idealnie równy

Sześcian to prostopadłościan, w którym wszystkie trzy wymiary są takie same. Kostka do gry, kostka cukru, kostka Rubika.

Sześcian — ten sam wymiar a we wszystkich trzech kierunkach

Skoro $a = b = c$ , to wszystkie ściany są jednakowymi kwadratami, a wszystkie dwanaście krawędzi ma tę samą długość.

Uwaga na sposób myślenia, który przyda się potem w wielu miejscach: każdy sześcian jest prostopadłościanem, ale nie odwrotnie. To ta sama zależność, co między kwadratem a prostokątem — sześcian to po prostu szczególnie równy przypadek.

Obie bryły obok siebie

Zestawmy obie bryły w jednej tabeli:

Cecha	Prostopadłościan	Sześcian
ściany	6 prostokątów	6 jednakowych kwadratów
krawędzie	12, w trzech grupach po 4	12 jednakowych
wymiary	$a$ , $b$ , $c$ mogą się różnić	$a = b = c$

Krawędzie prostopadłościanu dzielą się na trzy grupy po cztery: cztery o długości $a$ , cztery o długości $b$ i cztery o długości $c$ . Ta obserwacja zaraz nam się przyda.

Ile drutu na model prostopadłościanu 5 na 4 na 3?

1
Zadanie: chcemy zbudować z drutu szkielet prostopadłościanu o wymiarach 5 cm, 4 cm i 3 cm. Ile drutu potrzeba? Szukamy sumy długości wszystkich krawędzi.
$a = 5, \quad b = 4, \quad c = 3$
Jak myślisz, ile wyjdzie?
2
Krawędzie dzielą się na trzy grupy po cztery. Liczymy pierwszą grupę — cztery krawędzie o długości 5 cm.
$4 \cdot 5 = 20$
3
Druga grupa — cztery krawędzie o długości 4 cm.
$4 \cdot 4 = 16$
4
Trzecia grupa — cztery krawędzie o długości 3 cm.
$4 \cdot 3 = 12$
5
Dodajemy wszystkie trzy grupy.
$20 + 16 + 12 = 48$
6
Potrzeba 48 cm drutu. Szybszy zapis tego samego rachunku: dodaj trzy wymiary i pomnóż przez 4.
$4 \cdot (5 + 4 + 3) = 4 \cdot 12 = 48$
Wskazówka
Cztery razy suma trzech wymiarów. Krótko i zawsze działa.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Ile centymetrów drutu potrzeba na szkielet sześcianu o krawędzi 5 cm?

a = 5

Pułapka! Mylenie krawędzi ze ścianami

Najczęstsza pomyłka w tym temacie nie dotyczy rachunków, tylko słów. Zadanie pyta o krawędzie, uczeń liczy ściany — i wynik jest bez sensu, choć rachunek wykonany poprawnie.

Pułapka! Każdy wymiar występuje cztery razy

Drugi błąd wychodzi przy sumie krawędzi. Uczeń liczy $5 + 4 + 3 = 12$ i podaje 12 cm jako odpowiedź, zapominając, że każdy wymiar występuje cztery razy, a nie raz.

Kontrola zdrowego rozsądku: samo dno pudełka to już obwód prostokąta, czyli $2 \cdot (5 + 4) = 18$ cm. Skoro dół sam w sobie ma 18 cm, to cały szkielet nie może mieć 12 cm. Coś by się nie zgadzało.

Rozpoznajemy bryły wokół nas

1
Zadanie: które z tych przedmiotów są prostopadłościanami, a które sześcianami? Pudełko zapałek, kostka do gry, akwarium 60 na 30 na 30 cm, kostka cukru.
$?$
2
Pudełko zapałek: trzy różne wymiary, wszystkie ściany prostokątne. To prostopadłościan, ale nie sześcian.
$a \ne b \ne c$
3
Kostka do gry: wszystkie krawędzie równe, ściany to kwadraty. To sześcian — a więc także prostopadłościan.
$a = b = c$
4
Akwarium 60 na 30 na 30: dwa wymiary są równe, ale trzeci nie. To wciąż zwykły prostopadłościan, choć dwie ściany są kwadratami.
$60 \ne 30 = 30$
5
Kostka cukru: wszystkie wymiary równe, więc sześcian. Zwróć uwagę na akwarium — sam fakt, że jakieś dwie ściany są kwadratami, nie robi jeszcze z bryły sześcianu. Muszą być równe WSZYSTKIE trzy wymiary.
$a = b = c$
Wskazówka
Sześcian to prostopadłościan, w którym nie da się wskazać dłuższego boku.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Prostopadłościan ma wymiary 7 cm, 4 cm i 2 cm. Ile wynosi suma długości wszystkich jego krawędzi?

4 \cdot (7 + 4 + 2)

Ściąga do zapamiętania

Co warto wiedzieć o prostopadłościanie i sześcianie?

PROSTOPADŁOŚCIAN: 6 ścian (prostokąty, naprzeciwległe jednakowe), 12 krawędzi, 8 wierzchołków. Opisują go trzy wymiary a, b, c. Suma krawędzi = 4 razy (a+b+c). SZEŚCIAN: prostopadłościan o wszystkich wymiarach równych — 6 jednakowych kwadratów, 12 równych krawędzi, suma krawędzi = 12a. Każdy sześcian jest prostopadłościanem, ale nie odwrotnie. Nie myl ściany (malujesz), krawędzi (przejeżdżasz palcem) i wierzchołka (ostry róg).

Sprawdź się!

Ile krawędzi ma prostopadłościan?

Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu wynosi 36 cm. Ile ma jego krawędź?

Które zdanie jest PRAWDZIWE?

Akwarium ma wymiary 80 cm, 40 cm i 50 cm. Ile listew potrzeba na jego szkielet (suma krawędzi)?

Pudełko ma wymiary 20 cm, 20 cm i 35 cm. Czy to sześcian?

Następny temat

Siatki prostopadłościanów i sześcianów