Równania z ułamkami i nawiasami — matematyka klasa 8

Cześć! Spójrz: $\frac{x+1}{3} - \frac{x-2}{4} = 1$ . Dwa ułamki, w każdym dwumian, do tego odejmowanie. Na egzaminie takie równanie to standard — i dobra wiadomość: rozbraja się je zawsze tym samym kluczem. Dziś dokręcimy tę umiejętność do poziomu egzaminacyjnego.

Przypomnienie: cztery kroki i minus przed nawiasem

Schemat znasz z klasy siódmej: ułamki → nawiasy → porządkowanie → dzielenie. W klasie ósmej dochodzą trudniejsze warianty, więc odświeżmy go na przykładzie z pułapką.

2(x + 1)

10

Najpierw nawias

Nawias rozbijamy przed przenoszeniem

$5 - 2(x - 3) = x + 2$

Krok nawiasowy. Przed nawiasem stoi $-2$ , więc mnożymy oba składniki przez $-2$ :

$5 - 2x + 6 = x + 2$

Zwróć uwagę: $-2 \cdot (-3) = +6$ . To najczęstsze miejsce błędu — minus razy minus daje plus.

Porządkujemy i dowozimy wynik

1
Iksy przenosimy na prawo (tam jest ich „więcej” po przeniesieniu), liczby na lewo. Najpierw sumujemy liczby po lewej stronie.
$11 - 2x = x + 2$
2
Teraz przenosimy: dwa iksy w prawo, dwójkę w lewo. Każde przeniesienie zmienia znak.
$11 - 2 = x + 2x$
3
Zostaje najprostsze możliwe równanie — wystarczy podzielić przez trzy.
$9 = 3x \;\Rightarrow\; x = 3$
4
Sprawdzenie: lewa strona daje pięć i prawa też pięć. Zgadza się.
$5 - 2(3-3) = 5, \quad 3 + 2 = 5$

Wszystkie kroki za Tobą!

Zasada: minus dotyczy każdego składnika nawiasu

Minus przed nawiasem zmienia znak każdego składnika w środku, nie tylko pierwszego.

Ułamki z dwumianem w liczniku

Nowość klasy ósmej: w liczniku ułamka stoi całe wyrażenie, i to po obu stronach równania.

(x + 1) / 3

(x - 2) / 2

Mnożymy obie strony przez 6

Mnożenie obu stron przez tę samą liczbę nie rusza równowagi

$\frac{x+1}{3} = \frac{x-2}{2}$

Po co mnożymy przez wspólny mianownik? Żeby ułamki zniknęły — z równaniem bez kresek ułamkowych pracuje się dużo łatwiej, a mnożenie obu stron przez tę samą liczbę niczego w równaniu nie psuje.

Mnożymy obie strony przez wspólny mianownik — tu $\text{NWW}(3, 2) = 6$ :

$6 \cdot \frac{x+1}{3} = 6 \cdot \frac{x-2}{2}$

$2(x+1) = 3(x-2)$

Kluczowy moment: licznik trafia do nawiasu. Kreska ułamkowa obejmowała całe $x+1$ , więc po skróceniu dwójka mnoży całe $x+1$ .

Dalej już z górki:

$2x + 2 = 3x - 6$

$2 + 6 = 3x - 2x$

$x = 8$

Sprawdzenie wyniku x = 8

1
Podstawmy $x = 8$ do wyjściowego równania. Zaczynamy od lewej strony.
$\frac{8+1}{3} = \frac{9}{3} = 3$
2
Teraz prawa strona. Obie wyszły równe, więc rozwiązanie jest dobre.
$\frac{8-2}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Wszystkie kroki za Tobą!

Jak szybko znaleźć wspólny mianownik

Wspólny mianownik to najmniejsza wspólna wielokrotność mianowników:

Mianowniki	NWW
2 i 3	6
3 i 4	12
4 i 6	12
2, 3 i 4	12
5 i 4	20

Równanie z zapowiedzi — krok po kroku

1
Rozwiązujemy równanie z początku lekcji.
$\frac{x+1}{3} - \frac{x-2}{4} = 1$
2
Wspólny mianownik trójki i czwórki to 12. Mnożymy przez niego KAŻDY wyraz — także jedynkę po prawej.
$12 \cdot \frac{x+1}{3} - 12 \cdot \frac{x-2}{4} = 12 \cdot 1$
3
Skracamy: $12:3 = 4$ oraz $12:4 = 3$ . Liczniki lądują w nawiasach.
$4(x+1) - 3(x-2) = 12$
4
Opuszczamy pierwszy nawias.
$4x + 4 - 3(x-2) = 12$
5
Teraz drugi — uwaga, przed nim stoi minus trzy: $-3 \cdot x = -3x$ oraz $-3 \cdot (-2) = +6$ .
$4x + 4 - 3x + 6 = 12$
6
Redukujemy lewą stronę.
$x + 10 = 12$
7
Przenosimy dziesiątkę.
$x = 2$
8
Sprawdzenie w pierwotnym równaniu. Pierwszy ułamek.
$\frac{2+1}{3} = 1$
9
Drugi ułamek.
$\frac{2-2}{4} = 0$
10
Lewa strona: $1 - 0 = 1$ . Prawa: 1. Rozwiązanie poprawne.
$1 = 1 \; \checkmark$
Wskazówka
Najwięcej punktów na egzaminie ucieka przy $-3(x-2)$ . Zapisz sobie ten krok osobno, nie rób go w pamięci.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Rozwiąż równanie $\frac{x+2}{5} = \frac{x-1}{4}$ . Podaj wartość $x$ .

\frac{x+2}{5} = \frac{x-1}{4}

Pułapka! Licznik wrzucony do mnożenia bez nawiasu

Błąd pierwszy to licznik bez nawiasu.

Mnożąc $\frac{x-2}{4}$ przez 12, ktoś pisze $3x - 2$ . Ale kreska ułamkowa obejmowała całe $x - 2$ , więc poprawnie jest $3(x-2) = 3x - 6$ .

Dla $x = 6$ : poprawnie $3 \cdot 4 = 12$ , błędnie $16$ . Różnica aż nadto widoczna.

Błąd drugi: minus tylko dla pierwszego składnika

Zapis $4(x+1) - 3(x-2)$ to nie $4x + 4 - 3x - 6$ . Minus trzy mnoży oba składniki: $-3x$ i $+6$ .

Wyrażenie	Poprawnie	Częsty błąd
$-3(x-2)$	$-3x + 6$	$-3x - 6$
$-(x+5)$	$-x - 5$	$-x + 5$
$5 - 2(x-3)$	$5 - 2x + 6$	$5 - 2x - 6$

Błąd trzeci: niepomnożony wyraz wolny

W równaniu $\frac{x+1}{3} - \frac{x-2}{4} = 1$ mnożymy przez 12 wszystko — także samotną jedynkę po prawej. Kto zostawi po prawej 1 zamiast 12, dostanie złe rozwiązanie, choć cała reszta będzie bez zarzutu.

Obrona przed wszystkimi trzema błędami naraz

Jak się bronić? Po rozwiązaniu podstaw wynik do równania pierwotnego (nie do któregoś z kroków). To wykrywa każdy z trzech błędów w pół minuty.

Nawias i ułamek w jednym równaniu

1
Zadanie: rozwiąż równanie, w którym występuje i nawias, i ułamek.
$2(x - 3) - \frac{x+4}{2} = 1$
2
Zaczynamy od ułamka: mnożymy KAŻDY wyraz przez 2.
$2 \cdot 2(x-3) - (x+4) = 2$
3
Po lewej: czwórka razy nawias, a ułamek zamienił się w nawias z minusem przed sobą.
$4(x-3) - (x+4) = 2$
4
Opuszczamy pierwszy nawias.
$4x - 12 - (x+4) = 2$
5
Opuszczamy drugi: minus zmienia znak obu składnikom.
$4x - 12 - x - 4 = 2$
6
Redukujemy.
$3x - 16 = 2$
7
Przenosimy szesnastkę i dzielimy przez 3.
$3x = 18 \;\Rightarrow\; x = 6$
8
Sprawdzenie: lewa strona dla $x = 6$ .
$2(6-3) - \frac{6+4}{2} = 6 - 5 = 1$
9
Prawa strona to 1 — wynik potwierdzony.
$1 = 1 \; \checkmark$
Wskazówka
Kolejność zawsze ta sama: najpierw ułamki, potem nawiasy. Odwrotnie też się da, ale łatwiej o błąd.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Rozwiąż równanie $\frac{2x-1}{3} + 2 = x$ . Podaj wartość $x$ .

\frac{2x-1}{3} + 2 = x

Ściąga do zapamiętania

Równanie z ułamkami i nawiasami — w jakiej kolejności je porządkować?

• Kolejność: 1) ułamki — pomnóż każdy wyraz przez NWW mianowników, także wyrazy bez ułamka; 2) nawiasy; 3) porządkowanie ze zmianą znaków; 4) dzielenie
• Licznik-dwumian po pomnożeniu trafia do nawiasu: $\frac{x-2}{4}$ razy $12$ daje $3(x-2)$ , a nie $3x-2$
• Minus przed nawiasem zmienia znak każdego składnika: $-3(x-2) = -3x + 6$ ; minus razy minus daje plus
• Sprawdzenie zawsze w równaniu pierwotnym — wyłapuje wszystkie trzy klasyczne błędy naraz

Przypomnienie: cztery kroki i minus przed nawiasem

Porządkujemy i dowozimy wynik

Zasada: minus dotyczy każdego składnika nawiasu

Ułamki z dwumianem w liczniku

Sprawdzenie wyniku x = 8

Jak szybko znaleźć wspólny mianownik

Równanie z zapowiedzi — krok po kroku

Pułapka! Licznik wrzucony do mnożenia bez nawiasu

Błąd drugi: minus tylko dla pierwszego składnika

Błąd trzeci: niepomnożony wyraz wolny

Obrona przed wszystkimi trzema błędami naraz

Nawias i ułamek w jednym równaniu

Ściąga do zapamiętania

Sprawdź się!