Wyrażenia algebraiczne w zadaniach geometrycznych

około 15 minut

W tej lekcji1/17

Cześć! Prostokąt ma boki $x$ oraz $x + 3$ . Nie wiem, ile wynosi $x$ — a mimo to potrafię zapisać jego obwód i pole. Jak? Literami! Na egzaminie ósmoklasisty polecenie „zapisz wyrażenie” pojawia się co roku — dziś nauczysz się je wykonywać bezbłędnie.

Litera pracuje jak liczba

Gdy bok figury jest opisany literą, wzory geometryczne działają dokładnie tak samo jak dla liczb — tylko wynik jest wyrażeniem algebraicznym, a nie konkretną liczbą.

W takich rachunkach kluczowy jest nawias: bok $x + 3$ to jedna całość, więc mnożymy przez niego oba składniki naraz.

Prostokąt o bokach x oraz x + 3

Prostokąt o bokach $x$ i $x + 3$

1
Obwód to suma podwojonych boków. Dłuższy bok bierzemy w nawias, bo jest sumą.
$O = 2 \cdot x + 2 \cdot (x + 3) = 2x + 2x + 6 = 4x + 6$
2
Pole to iloczyn boków. Mnożymy $x$ przez każdy składnik nawiasu osobno.
$P = x \cdot (x + 3) = x^2 + 3x$

Wszystkie kroki za Tobą!

Nawias, redukcja i kontrola liczbą

Po pierwsze — nawias. Mnożąc bok $x + 3$ przez 2, mnożysz oba składniki: $2(x+3) = 2x + 6$ .

Po drugie — redukcja. Wynik zawsze upraszczamy: $2x + 2x + 6$ zapisujemy jako $4x + 6$ . Na egzaminie odpowiedź w postaci nieuproszczonej może kosztować punkt.

Kontrola liczbą. Podstaw $x = 5$ : boki mają 5 i 8, więc obwód to $2 \cdot 5 + 2 \cdot 8 = 26$ . A z wyrażenia: $4 \cdot 5 + 6 = 26$ . Zgadza się — wyrażenie jest dobre.

Najczęstsze figury w zadaniach

Na egzaminie E8 wyrażenia algebraiczne w geometrii pojawiają się w kilku stałych odsłonach. Oto ściąga:

Figura	Obwód	Pole
kwadrat o boku $a$	$4a$	$a^2$
kwadrat o boku $2x$	$8x$	$4x^2$
prostokąt $a \times b$	$2a + 2b$	$ab$
trójkąt równoboczny o boku $n$	$3n$	—
sześciokąt foremny o boku $k$	$6k$	—

Uwaga na kwadrat boku. Pole kwadratu o boku $2x$ to $(2x)^2 = 4x^2$ , a nie $2x^2$ . Kwadrat obejmuje cały bok, razem ze współczynnikiem.

Typowe polecenia z arkuszy egzaminacyjnych

1
„Zapisz wyrażenie algebraiczne opisujące obwód tej figury.” To najprostsza odsłona: podstawiasz literę do wzoru i redukujesz.
$O = 4a$
2
„Bok kwadratu zwiększono o 2 cm. Zapisz pole nowego kwadratu.” Nowy bok to $x + 2$ , więc pole jest jego kwadratem.
$P = (x+2)^2$
3
„Obwód prostokąta jest równy… Wyznacz długości boków.” Tu wyrażenie staje się równaniem i trzeba je rozwiązać.
$2a + 2b = O$

Wszystkie kroki za Tobą!

Jednostki obwodu i pola

Jeśli bok jest podany w centymetrach, to obwód wychodzi w $\text{cm}$ , a pole w $\text{cm}^2$ . W odpowiedzi tekstowej zawsze je zapisz — na egzaminie brak jednostki potrafi kosztować punkt.

Obwód i pole prostokąta z literami

1
Zadanie: prostokąt ma boki $2x$ oraz $x + 4$ . Zapisz wyrażenia opisujące jego obwód i pole, a potem oblicz oba dla $x = 3$ .
$2x, \quad x + 4$
2
Obwód to suma podwojonych boków. Bok $x + 4$ bierzemy w nawias.
$O = 2 \cdot 2x + 2 \cdot (x + 4)$
3
Wymnażamy: dwójka mnoży oba składniki nawiasu.
$O = 4x + 2x + 8$
4
Redukujemy wyrazy podobne.
$O = 6x + 8$
5
Pole to iloczyn boków. Mnożymy jednomian przez sumę — każdy składnik osobno.
$P = 2x \cdot (x + 4) = 2x^2 + 8x$
6
Teraz podstawiamy trójkę. Najpierw obwód.
$O = 6 \cdot 3 + 8 = 26$
7
Potem pole. Pamiętaj: najpierw potęga, potem mnożenie.
$P = 2 \cdot 3^2 + 8 \cdot 3 = 18 + 24 = 42$
8
Kontrola na konkretnych bokach: dla $x = 3$ boki mają 6 i 7.
$O = 2 \cdot 6 + 2 \cdot 7 = 26, \quad P = 6 \cdot 7 = 42$
9
Oba wyniki się pokrywają — wyrażenia są poprawne.
$26 = 26, \quad 42 = 42 \; \checkmark$
Wskazówka
Podstawienie konkretnej liczby to najszybszy test poprawności wyrażenia. Pół minuty i masz pewność.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Kwadrat ma bok długości $x + 5$ . Zapisz wyrażenie na jego obwód, a potem oblicz obwód dla $x = 4$ . Podaj wynik w centymetrach.

a = x + 5

Pułapka! Nawias mnoży tylko pierwszy składnik

Obwód prostokąta o bokach $x$ i $x + 3$ to $2x + 2(x+3)$ . Ktoś zapisuje $2x + 2x + 3$ — dwójka „nie doszła” do trójki. Poprawnie: $2x + 2x + 6 = 4x + 6$ .

Sprawdź dla $x = 5$ : boki 5 i 8, obwód 26. Wersja błędna daje $2 \cdot 5 + 2 \cdot 5 + 3 = 23$ — nie zgadza się.

Pułapka! Iks razy iks to kwadrat, nie podwojenie

Pole kwadratu o boku $x$ to $x \cdot x = x^2$ , a nie $2x$ . Podwojenie i podniesienie do kwadratu to zupełnie różne operacje.

Pułapka! Kwadrat obejmuje cały bok ze współczynnikiem

Pole kwadratu o boku $2x$ to $(2x)^2 = 4x^2$ . Zapis $2x^2$ oznacza co innego — kwadrat samego $x$ pomnożony przez 2.

Sprawdzenie liczbą: podwojenie kontra kwadrat

1
Podstawmy $x = 6$ do obu zapisów. Różnica jest trzykrotna.
$x^2 = 36, \quad 2x = 12$
2
A teraz $x = 3$ do zapisów $(2x)^2$ i $2x^2$ . Też wychodzą różne liczby.
$(2 \cdot 3)^2 = 36, \quad 2 \cdot 3^2 = 18$

Wszystkie kroki za Tobą!

Pułapka! Obwód pomylony z polem

Obwód odpowiada na pytanie „ile płotu dookoła?” i wychodzi w centymetrach. Pole odpowiada na pytanie „ile trawy w środku?” i wychodzi w centymetrach kwadratowych.

Jeśli w odpowiedzi na pytanie o pole nie ma mnożenia boków — coś poszło nie tak.

Pole figury złożonej

Prostokąt 3x na 2x z wyciętym kwadratem o boku x

1
Zadanie egzaminacyjne: z prostokąta o bokach $3x$ i $2x$ wycięto kwadrat o boku $x$ . Zapisz wyrażenie opisujące pole pozostałej figury.
$3x \times 2x, \quad \text{wyciety kwadrat: } x$
2
Plan: pole figury z dziurą to pole całości minus pole wyciętego kawałka.
$P = P_{\text{prostokat}} - P_{\text{kwadrat}}$
3
Pole prostokąta: mnożymy boki. Współczynniki razem, litery razem.
$3x \cdot 2x = 6x^2$
4
Pole wyciętego kwadratu.
$x \cdot x = x^2$
5
Odejmujemy i redukujemy.
$P = 6x^2 - x^2 = 5x^2$
6
Kontrola dla $x = 2$ : prostokąt ma boki 6 i 4, więc pole 24. Kwadrat ma pole 4.
$24 - 4 = 20$
7
Z wyrażenia: pięć razy kwadrat dwójki.
$5 \cdot 2^2 = 5 \cdot 4 = 20 \; \checkmark$
Wskazówka
Figury złożone to zawsze suma albo różnica figur prostych. Rozbij, policz osobno, złóż z powrotem.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Trójkąt równoramienny ma podstawę $x$ i dwa ramiona po $x + 3$ . Jego obwód wynosi 30 cm. Oblicz $x$ .

x + 2(x + 3) = 30

Ściąga do zapamiętania

Jak zapisać obwód i pole figury wyrażeniem algebraicznym?

• Wzory działają jak na liczbach: prostokąt $2a + 2b$ i $ab$ , kwadrat $4a$ i $a^2$
• Bok opisany sumą bierz w nawias i mnóż każdy składnik: $2(x+3) = 2x + 6$
• Uwaga: $x \cdot x = x^2$ (nie $2x$ ), a $(2x)^2 = 4x^2$ (nie $2x^2$ )
• Wynik zawsze redukuj; figura złożona to suma albo różnica figur prostych
• Kontrola: podstaw konkretną liczbę do wyrażenia i do rysunku — wyniki muszą się zgodzić
• Jednostki: obwód w cm, pole w $\text{cm}^2$

Sprawdź się!

Prostokąt ma boki $x$ oraz $x + 7$ . Które wyrażenie opisuje jego obwód?

Jakie jest pole kwadratu o boku $3a$ ?

Wyrażenie $2(a + b)$ opisuje:

Prostokąt ma boki $x + 2$ oraz $5$ . Jakie jest jego pole dla $x = 3$ ?

Sześciokąt foremny ma bok długości $n - 1$ . Które wyrażenie opisuje jego obwód?

Bok kwadratu o boku $x$ zwiększono o 2. O ile zwiększył się obwód kwadratu?

Następny temat

Równania z ułamkami i nawiasami

Litera pracuje jak liczba

Prostokąt o bokach xxx i x+3x + 3x+3

Nawias, redukcja i kontrola liczbą

Najczęstsze figury w zadaniach

Typowe polecenia z arkuszy egzaminacyjnych

Jednostki obwodu i pola

Obwód i pole prostokąta z literami

Pułapka! Nawias mnoży tylko pierwszy składnik

Pułapka! Iks razy iks to kwadrat, nie podwojenie

Pułapka! Kwadrat obejmuje cały bok ze współczynnikiem

Sprawdzenie liczbą: podwojenie kontra kwadrat

Pułapka! Obwód pomylony z polem

Pole figury złożonej

Ściąga do zapamiętania

Sprawdź się!

Prostokąt o bokach $x$ i $x + 3$