Rozwinięcia dziesiętne skończone i nieskończone

około 12 minut

W tej lekcji1/15

Cześć! Podziel jeden przez trzy na kalkulatorze. Zobaczysz $0{,}3333333$ i jeszcze więcej trójek, aż skończy się wyświetlacz. Ale kalkulator wcale nie skończył — te trójki ciągną się w nieskończoność. A teraz podziel jeden przez cztery: wychodzi równiutkie $0{,}25$ i koniec. Dlaczego jeden ułamek się kończy, a drugi nie? To da się przewidzieć, zanim zaczniesz dzielić.

Dwa rodzaje rozwinięć

Rozwinięcie dziesiętne to zapis ułamka po przecinku. Bywa dwojakie.

0,25

0,5

0,75

0,25

0,5

0,75

Rozwinięcia skończone mieszczą się na podziałce

Skończone — po przecinku stoi kilka cyfr i koniec, dzielenie wychodzi równo:

$\frac{1}{2} = 0{,}5 \qquad \frac{3}{4} = 0{,}75 \qquad \frac{1}{8} = 0{,}125 \qquad \frac{2}{5} = 0{,}4$

Nieskończone okresowe — pewna grupa cyfr powtarza się bez końca:

$\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots \qquad \frac{1}{9} = 0{,}111\ldots \qquad \frac{5}{6} = 0{,}8333\ldots$

Powtarzającą się grupę nazywamy okresem. W ułamku $\frac{1}{3}$ okresem jest trójka, w $\frac{5}{6}$ też trójka, ale przed nią stoi jeszcze ósemka, która się nie powtarza.

Dlaczego trzeciej możliwości nie ma

1
Przy dzieleniu przez liczbę n reszty mogą być tylko mniejsze od n. Jest ich więc skończenie wiele.
$r < n$
2
Skoro reszt jest skończenie wiele, to prędzej czy później któraś musi się powtórzyć.
$r_k = r_m$
3
Od tego momentu wynik zaczyna się zapętlać. Dlatego rozwinięcie ułamka zwykłego zawsze jest albo skończone, albo okresowe — trzeciej możliwości nie ma.
Wskazówka
Reszt jest mniej niż n, więc pętla musi się kiedyś pojawić. To nie przypadek, to konieczność.

Wszystkie kroki za Tobą!

Jak przewidzieć, nie dzieląc? Spójrz na mianownik

Odpowiedź daje jedna reguła, a stosujesz ją w kilka sekund, zanim ktokolwiek zacznie dzielić:

Dlaczego akurat dwójki i piątki

Bo tylko z nich zbudowane są liczby 10, 100 i 1000 ( $10 = 2 \cdot 5$ ). A ułamek ma skończone rozwinięcie dokładnie wtedy, gdy da się go rozszerzyć do mianownika 10, 100 albo 1000.

Ułamek	Mianownik po rozłożeniu	Rozwinięcie
$\frac{1}{8}$	$2 \cdot 2 \cdot 2$	skończone: $0{,}125$
$\frac{3}{25}$	$5 \cdot 5$	skończone: $0{,}12$
$\frac{1}{20}$	$2 \cdot 2 \cdot 5$	skończone: $0{,}05$
$\frac{1}{3}$	$3$	nieskończone: $0{,}333\ldots$
$\frac{1}{12}$	$2 \cdot 2 \cdot 3$	nieskończone (jest trójka!)
$\frac{5}{6}$	$2 \cdot 3$	nieskończone (jest trójka!)

Jedna trójka psuje całą sprawę

Zwróć uwagę na $\frac{1}{12}$ i $\frac{5}{6}$ : dwójki tam są, ale wystarczy jedna trójka, żeby zepsuć całą sprawę.

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1/3

Jedna trzecia wypada MIĘDZY działkami dziesiątych — i tak samo mija setne oraz tysięczne, więc dzielenie nigdy się nie kończy

Sprawdzamy ułamek siedem ósmych

1
Zadanie: czy siedem ósmych ma rozwinięcie skończone? Odpowiadamy bez dzielenia.
$\frac{7}{8}$
2
Krok pierwszy: czy da się skrócić? Siódemka i ósemka nie mają wspólnego dzielnika większego od 1, więc ułamek jest już nieskracalny.
$\frac{7}{8} - \text{nieskracalny}$
3
Krok drugi: rozkładamy mianownik na czynniki pierwsze.
$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2$
4
Krok trzeci: same dwójki, żadnej innej liczby. Zgodnie z regułą rozwinięcie musi być skończone.
$\text{tylko dwójki} \to \text{skończone}$
5
Sprawdzenie dzieleniem: siedem dzielone przez osiem daje dokładnie 0,875 i dzielenie się kończy.
$7 : 8 = 0{,}875$
6
Można to też pokazać przez rozszerzenie do tysiąca — a to potwierdza, dlaczego reguła działa.
$\frac{7}{8} = \frac{875}{1000} = 0{,}875$
Wskazówka
Rozłożenie mianownika zajmuje chwilę, a oszczędza całe dzielenie pisemne.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Czy ułamek $\frac{1}{6}$ ma rozwinięcie skończone, czy nieskończone?

\frac{1}{6}

Pułapka! Zapominanie o skracaniu

Reguła o dwójkach i piątkach działa wyłącznie dla ułamka nieskracalnego. Kto o tym zapomni, dostaje błędne odpowiedzi.

Weź ułamek $\frac{6}{15}$ . W mianowniku stoi trójka ( $15 = 3 \cdot 5$ ), więc odruch podpowiada: nieskończone. A jednak wcale tak nie jest.

Skracanie zmienia odpowiedź

1
Skracamy sześć piętnastych przez 3. Trójka znika z mianownika, a rozwinięcie okazuje się skończone.
$\frac{6}{15} = \frac{2}{5} = 0{,}4$
2
Ten sam mechanizm ratuje ułamek trzy szóste: w mianowniku stoi trójka, ale po skróceniu zostaje sama dwójka.
$\frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0{,}5$
3
Wniosek jest jeden: zawsze najpierw skracaj, potem oceniaj mianownik.
Wskazówka
Nieskracalna postać to jedyna, o której reguła cokolwiek mówi. Reszta to zgadywanie.

Wszystkie kroki za Tobą!

Dwa zapisy, dwie różne liczby

Trzy kropki na końcu nie są ozdobą — mówią, że cyfry biegną dalej. Drugi częsty błąd dotyczy właśnie zapisu, bo $0{,}333$ i $0{,}333\ldots$ to dwie różne liczby:

Zapis	Co oznacza
$0{,}333$	dokładnie trzysta trzydzieści trzy tysięczne, koniec
$0{,}333\ldots$	trójki bez końca, czyli dokładnie $\frac{1}{3}$

Nie zaokrąglaj po cichu

Gdy dzielisz i widzisz, że reszta zaczyna się powtarzać, nie zaokrąglaj po cichu — dopisz trzy kropki albo podaj wynik jako ułamek zwykły.

Sortujemy pięć ułamków

1
Zadanie: które z tych ułamków mają rozwinięcie skończone? Sprawdzamy po kolei, zaczynając zawsze od skracania.
$\frac{3}{10}, \; \frac{4}{9}, \; \frac{9}{12}, \; \frac{7}{20}, \; \frac{2}{7}$
2
Trzy dziesiąte: nieskracalny, a $10 = 2 \cdot 5$ . Same dwójki i piątki, więc skończone.
$\frac{3}{10} = 0{,}3$
3
Cztery dziewiąte: nieskracalny, a $9 = 3 \cdot 3$ . Trójki, więc nieskończone.
$\frac{4}{9} = 0{,}444\ldots$
4
Dziewięć dwunastych: uwaga, to się skraca przez 3! Po skróceniu mamy trzy czwarte, a $4 = 2 \cdot 2$ . Skończone — mimo że w pierwotnym mianowniku była trójka.
$\frac{9}{12} = \frac{3}{4} = 0{,}75$
5
Siedem dwudziestych: nieskracalny, a $20 = 2 \cdot 2 \cdot 5$ . Skończone.
$\frac{7}{20} = 0{,}35$
6
Dwie siódme: nieskracalny, a siódemka to liczba pierwsza inna niż 2 i 5. Nieskończone.
$\frac{2}{7} = 0{,}285714\ldots$
Wskazówka
Ułamek dziewięć dwunastych to pułapka zastawiona na tych, którzy nie skracają.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Ile wynosi $\frac{1}{8}$ w zapisie dziesiętnym?

\frac{1}{8}

Ściąga do zapamiętania

Kiedy ułamek ma skończone rozwinięcie dziesiętne?

Rozwinięcie ułamka zwykłego jest zawsze albo SKOŃCZONE (1/4 = 0,25), albo NIESKOŃCZONE OKRESOWE (1/3 = 0,333...). REGUŁA: skróć ułamek do postaci nieskracalnej i rozłóż mianownik na czynniki pierwsze. Tylko dwójki i piątki = skończone. Cokolwiek innego (np. trójka lub siódemka) = nieskończone. NAJPIERW SKRACAJ: 9/12 wygląda na nieskończone, ale to 3/4 = 0,75. Zapisy 0,333 i 0,333... to różne liczby.

Sprawdź się!

Który z tych ułamków ma NIESKOŃCZONE rozwinięcie dziesiętne?

Ile wynosi rozwinięcie dziesiętne ułamka $\frac{3}{8}$ ?

Jaki błąd popełnia uczeń, który patrzy na $\frac{10}{15}$ , widzi trójkę w rozkładzie mianownika i mówi: rozwinięcie nieskończone?

Dlaczego przy ocenianiu rozwinięcia patrzymy właśnie na dwójki i piątki?

Czym różnią się zapisy $0{,}666$ oraz $0{,}666\ldots$ ?

Następny temat

Kąty — rodzaje i mierzenie (z kątem pełnym i półpełnym)