Środek odcinka w układzie współrzędnych

około 12 minut

W tej lekcji1/17

Cześć! Wyobraź sobie, że ty mieszkasz w jednym punkcie miasta, kolega w drugim, i chcecie spotkać się dokładnie w połowie drogi. Skąd wiadomo, gdzie to jest? Wystarczy uśrednić współrzędne — osobno poziome, osobno pionowe. To ten sam wzór, który na egzaminie ósmoklasisty znajduje środek odcinka, punkt przecięcia przekątnych i brakujący koniec odcinka. Jeden wzór, trzy typy zadań.

Wzór na środek odcinka

Niech odcinek ma końce $A = (x_A, y_A)$ oraz $B = (x_B, y_B)$ . Jego środek $S$ ma współrzędne będące średnimi arytmetycznymi współrzędnych końców:

Środek odcinka to średnia współrzędnych

$x_S = \dfrac{x_A + x_B}{2}$ oraz $y_S = \dfrac{y_A + y_B}{2}$

Czyli krótko: $S = \left( \dfrac{x_A + x_B}{2}, \; \dfrac{y_A + y_B}{2} \right)$

Dlaczego to działa? Bo poruszając się z $A$ do $B$ , przechodzisz w poziomie dystans $x_B - x_A$ , a w pionie $y_B - y_A$ . Środek leży po połowie obu tych dróg — a punkt w połowie między dwiema liczbami to właśnie ich średnia.

Przykład: dwa odcinki, ten sam wzór

1
Bierzemy $A = (2, 3)$ i $B = (8, 7)$ . Najpierw uśredniamy pierwsze współrzędne.
$x_S = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$
2
Tak samo postępujemy z drugimi współrzędnymi.
$y_S = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$
3
Składamy obie liczby w jeden punkt.
$S = (5, 5)$
4
Współrzędne ujemne nie zmieniają zasady — trzeba tylko uważać na znaki. Weźmy $A = (-4, 6)$ i $B = (2, -2)$ .
$x_S = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
5
Drugą współrzędną liczymy identycznie, pilnując minusa przy dwójce.
$y_S = \frac{6 + (-2)}{2} = \frac{4}{2} = 2$
6
Środek tego odcinka ma więc jedną współrzędną ujemną, a drugą dodatnią.
$S = (-1, 2)$

Wszystkie kroki za Tobą!

Środek nie musi mieć całkowitych współrzędnych

Dla $A = (1, 2)$ i $B = (4, 5)$ wychodzi $S = (2{,}5; \; 3{,}5)$ — to zupełnie poprawna odpowiedź.

Kontrola sensu: każda współrzędna środka musi leżeć pomiędzy odpowiednimi współrzędnymi końców. Jeśli $x_A = 2$ i $x_B = 8$ , a wyszło ci $x_S = 10$ — na pewno jest błąd.

Zadanie odwrotne i gdzie ten wzór wraca

Egzamin rzadko pyta wprost „policz środek”. Częściej trzeba użyć wzoru w drugą stronę.

Sposób 1 — wyprowadzenie wzoru na drugi koniec

1
Zaczynamy od wzoru na pierwszą współrzędną środka.
$x_S = \frac{x_A + x_B}{2}$
2
Mnożymy obie strony przez 2, żeby pozbyć się ułamka.
$x_A + x_B = 2 x_S$
3
Odejmujemy $x_A$ od obu stron i mamy gotowy wzór na brakujący koniec.
$x_B = 2 x_S - x_A$
4
Tak samo dla igreków — wzór ma dokładnie tę samą budowę.
$y_B = 2 y_S - y_A$

Wszystkie kroki za Tobą!

Sposób 2 — „ta sama droga dwa razy”

Z A do S i drugi raz tyle samo — tak powstaje B

1
To po prostu symetria środkowa: punkt $B$ jest obrazem punktu $A$ względem środka $S$ . Sprawdzasz, jak idzie się z $A$ do $S$ , i powtarzasz tę drogę raz jeszcze.
$A \to S \to B$
2
Weźmy $A = (1, 2)$ oraz $S = (4, 3)$ . Z $A$ do $S$ idziemy 3 w prawo i 1 w górę.
$+3, \quad +1$
3
Z $S$ do $B$ — znowu 3 w prawo i 1 w górę.
$B = (4 + 3, \; 3 + 1) = (7, 4)$
4
Sprawdzenie wzorem z poprzedniej sekwencji. Zgadza się.
$x_B = 2 \cdot 4 - 1 = 7, \quad y_B = 2 \cdot 3 - 2 = 4$

Wszystkie kroki za Tobą!

Gdzie jeszcze przydaje się środek odcinka

Sytuacja	Zastosowanie
przekątne równoległoboku	dzielą się na połowy — mają wspólny środek
symetria środkowa	środek $S$ to środek odcinka łączącego punkt z obrazem
symetralna odcinka	przechodzi przez środek odcinka, prostopadle do niego
środkowa trójkąta	łączy wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku
środek okręgu	jest środkiem każdej średnicy

Pierwszy wiersz tabeli to gotowy sposób na sprawdzian z tego działu: żeby wykazać, że czworokąt jest równoległobokiem, wystarczy pokazać, że środki jego przekątnych to ten sam punkt.

Liczymy środek odcinka o ujemnych współrzędnych

1
Zadanie: oblicz współrzędne środka odcinka $AB$ , gdzie $A = (-7, 4)$ oraz $B = (3, -10)$ .
$A(-7, 4), \quad B(3, -10)$
2
Krok pierwszy: pierwsza współrzędna środka to średnia pierwszych współrzędnych końców. Podstawiamy.
$x_S = \frac{-7 + 3}{2}$
3
Liczymy licznik: $-7 + 3 = -4$ , a potem dzielimy przez 2.
$x_S = \frac{-4}{2} = -2$
4
Krok drugi: druga współrzędna to średnia drugich współrzędnych. Uwaga na minus przy dziesiątce.
$y_S = \frac{4 + (-10)}{2}$
5
Liczymy licznik: $4 - 10 = -6$ , dzielimy przez 2.
$y_S = \frac{-6}{2} = -3$
6
Składamy współrzędne środka.
$S = (-2, -3)$
7
Kontrola pierwsza: iks środka musi leżeć między $-7$ a $3$ . Liczba $-2$ mieści się w tym przedziale.
$-7 < -2 < 3 \; \checkmark$
8
Kontrola druga: igrek środka musi leżeć między $-10$ a $4$ . Liczba $-3$ też się mieści. Wynik jest wiarygodny.
$-10 < -3 < 4 \; \checkmark$
Wskazówka
Zawsze sprawdź, czy środek leży MIĘDZY końcami. Ta jedna kontrola wyłapuje wszystkie błędy znaków.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Odcinek ma końce $A = (3, 1)$ i $B = (11, 7)$ . Podaj pierwszą współrzędną środka tego odcinka.

A(3, 1), \quad B(11, 7)

Pułapka! Odejmowanie zamiast dodawania

Błąd pierwszy: liczenie różnicy zamiast średniej.

We wzorze na środek współrzędne DODAJEMY i dzielimy przez 2. Odejmowanie ( $x_B - x_A$ ) daje długość rzutu odcinka na oś, a nie położenie środka. Łatwo je pomylić, bo oba wzory pojawiają się w tym samym dziale.

Co liczysz	Wzór
środek odcinka	$\frac{x_A + x_B}{2}$ — dodawanie
odległość wzdłuż osi	$x_B - x_A$ — odejmowanie

Pułapka! Iksy z igrekami i jedno zapomniane dzielenie

Błąd drugi: mieszanie współrzędnych.

Uśredniamy iksy z iksami, a igreki z igrekami. Wyrażenie $\frac{x_A + y_B}{2}$ nie znaczy nic. Osobne tory dla obu współrzędnych!

Błąd trzeci: dzielenie przez 2 tylko jednej współrzędnej.

Obie współrzędne mają w mianowniku dwójkę. Wynik typu $(14, 4)$ zamiast $(7, 4)$ to zwykle zapomniane dzielenie w pierwszej współrzędnej.

Pułapka! Znaki ujemne i zaokrąglanie na siłę

Błąd czwarty: znaki przy liczbach ujemnych.

Dla $A = (-5, 2)$ i $B = (1, -8)$ : $x_S = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$ (nie $-3$ !), $y_S = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3$ . Najpierw policz cały licznik, dopiero potem dziel.

Błąd piąty: zaokrąglanie środka do liczb całkowitych.

Środek odcinka o końcach $(1, 0)$ i $(4, 0)$ to $(2{,}5; \; 0)$ — i taka odpowiedź jest poprawna. Nie ma powodu, żeby ją „poprawiać” na $(2, 0)$ czy $(3, 0)$ .

Pułapka! Połowa drogi zamiast całej

Błąd szósty — przy zadaniu odwrotnym: podawanie środka zamiast drugiego końca.

Gdy znasz $A$ i środek $S$ , drugi koniec liczysz ze wzoru $x_B = 2x_S - x_A$ . Sama różnica $x_S - x_A$ to dopiero połowa drogi — trzeba ją przejść jeszcze raz.

Szukamy drugiego końca odcinka

1
Zadanie: punkt $S = (2, -1)$ jest środkiem odcinka $AB$ , a jeden z końców to $A = (-3, 5)$ . Wyznacz współrzędne punktu $B$ .
$S(2, -1), \quad A(-3, 5)$
2
Krok pierwszy: korzystamy ze wzoru na środek i wyznaczamy z niego $x_B$ . Mnożymy obie strony przez 2.
$x_B = 2 x_S - x_A$
3
Podstawiamy liczby. Uwaga: odejmujemy liczbę ujemną, więc znaki się zmieniają na plus.
$x_B = 2 \cdot 2 - (-3) = 4 + 3 = 7$
4
Krok drugi: tak samo dla drugiej współrzędnej.
$y_B = 2 y_S - y_A$
5
Podstawiamy.
$y_B = 2 \cdot (-1) - 5 = -2 - 5 = -7$
6
Otrzymujemy drugi koniec odcinka.
$B = (7, -7)$
7
Kontrola przez wzór na środek: średnia iksów to $\frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$ . Zgadza się z $x_S$ .
$\frac{-3 + 7}{2} = 2 \; \checkmark$
8
Średnia igreków to $\frac{5 + (-7)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ . Też się zgadza — punkt $B$ jest wyznaczony poprawnie.
$\frac{5 - 7}{2} = -1 \; \checkmark$
9
Uwaga na koniec: punkt $B$ to nic innego jak obraz punktu $A$ w symetrii środkowej o środku $S$ . Z $A$ do $S$ idzie się 5 w prawo i 6 w dół — i z $S$ do $B$ dokładnie tyle samo.
$A \to S \to B: \; +5, \, -6$
Wskazówka
Zadanie odwrotne zawsze sprawdzaj wzorem na środek. Dwie linijki, a pewność stuprocentowa.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Punkt $S = (5, 2)$ jest środkiem odcinka $KL$ , a punkt $K = (1, 2)$ . Podaj pierwszą współrzędną punktu $L$ .

S(5, 2), \quad K(1, 2)

Ściąga do zapamiętania

Wzór na środek odcinka i wersja odwrotna zadania?

• Środek odcinka o końcach $A = (x_A, y_A)$ i $B = (x_B, y_B)$ to średnia współrzędnych: $S = \left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right)$
• Dodajemy i dzielimy przez $2$ — odejmowanie dałoby długość rzutu, a nie środek
• Osobno iksy, osobno igreki; obie współrzędne dzielimy przez $2$
• Współrzędne środka bywają ułamkowe — nie zaokrąglaj
• Zadanie odwrotne (znasz $A$ i $S$ , szukasz $B$ ): $x_B = 2x_S - x_A$ , $y_B = 2y_S - y_A$ — to po prostu symetria środkowa, czyli „ta sama droga jeszcze raz”
• Kontrola: każda współrzędna środka leży między współrzędnymi końców. Przekątne równoległoboku mają wspólny środek

Sprawdź się!

Jakie współrzędne ma środek odcinka o końcach $(1, 3)$ i $(7, 9)$ ?

Jakie współrzędne ma środek odcinka o końcach $(-6, 2)$ i $(4, -8)$ ?

Jakie współrzędne ma środek odcinka o końcach $(2, 5)$ i $(5, 6)$ ?

Punkt $S = (4, 4)$ jest środkiem odcinka $AB$ , a $A = (1, 6)$ . Jakie współrzędne ma punkt $B$ ?

Punkt $A = (3, -2)$ odbito w symetrii względem punktu $S = (3, 1)$ . Jakie współrzędne ma obraz?

Przekątne równoległoboku $ABCD$ przecinają się w punkcie $S$ . Wiadomo, że $A = (0, 0)$ i $C = (6, 4)$ . Jakie współrzędne ma punkt $S$ ?

Który wzór opisuje środek odcinka o końcach $A(x_A, y_A)$ i $B(x_B, y_B)$ ?

Następny temat

Kąty w wielokątach