Potęgi i pierwiastki w zadaniach egzaminacyjnych

1. 1

   Sprawdźmy format P/F na przykładzie żywcem wziętym z arkusza. Oceń prawdziwość zdań. Zdanie I: Liczba $2^6 \cdot 2^4$ jest równa $2^{10}$.

   $$2^6 \cdot 2^4 \overset{?}{=} 2^{10}$$
2. 2

   Mnożenie potęg o tej samej podstawie — dodajemy wykładniki. Prawda.

   $$2^{6+4} = 2^{10}$$
3. 3

   Zdanie II: Liczba $\sqrt{100} - \sqrt{36}$ jest równa $\sqrt{64}$. Tu trzeba policzyć obie strony osobno.

   $$\sqrt{100} - \sqrt{36} \overset{?}{=} \sqrt{64}$$
4. 4

   Lewa strona.

   $$\sqrt{100} - \sqrt{36} = 10 - 6 = 4$$
5. 5

   Prawa strona. Cztery to nie osiem — Fałsz.

   $$\sqrt{64} = 8$$

Wszystkie 5 kroków odsłonięte.

1. 1

   Polecenie z arkusza: „Liczba podana niżej jest równa: A) 4, B) 16, C) 64, D) jedna czwarta”. Rozwiązujemy, zanim spojrzymy na odpowiedzi.

   $$\frac{4^{5} \cdot 4^{-2}}{4^{2}}$$
2. 2

   Krok pierwszy: licznik. Mnożenie potęg to dodawanie wykładników — z uwzględnieniem minusa: pięć plus minus dwa to trzy.

   $$4^{5} \cdot 4^{-2} = 4^{5+(-2)} = 4^{3}$$
3. 3

   Krok drugi: dzielenie to odejmowanie wykładników.

   $$\frac{4^{3}}{4^{2}} = 4^{3-2} = 4^{1}$$
4. 4

   Krok trzeci: wartość. Cztery do pierwszej to po prostu cztery — odpowiedź A.

   $$4^{1} = 4$$
5. 5

   Kontrola: policz „pieszo”. $4^5 = 1024$, $4^{-2} = \frac{1}{16}$, więc licznik to $1024 : 16 = 64$. Dzielimy przez $4^2 = 16$: wychodzi 4. Zgadza się.

   $$\frac{1024 \cdot \frac{1}{16}}{16} = \frac{64}{16} = 4 \; \checkmark$$

Wszystkie 5 kroków odsłonięte.

1. 1

   Odpowiedź poprawna: dodanie wykładników.

   $$2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$$
2. 2

   Dystraktor pierwszy: pomnożenie wykładników zamiast dodania.

   $$2^{3 \cdot 4} = 2^{12}$$
3. 3

   Dystraktor drugi: pomnożenie podstaw.

   $$(2 \cdot 2)^{7} = 4^{7}$$
4. 4

   Dystraktor trzeci: pomnożenie wszystkiego naraz.

   $$(2 \cdot 2)^{3 \cdot 4} = 4^{12}$$

Wszystkie 4 kroków odsłonięte.

1. 1

   Wyrażenie wygląda przerażająco, dopóki nie zauważysz, że ósemka jest potęgą dwójki.

   $$\frac{2^{30}}{8^{9}}, \qquad 8 = 2^3$$
2. 2

   Sprowadzamy mianownik do tej samej podstawy — potęga potęgi to mnożenie wykładników.

   $$8^{9} = \left(2^3\right)^{9} = 2^{27}$$
3. 3

   Zostaje odejmowanie wykładników i mały wynik.

   $$\frac{2^{30}}{2^{27}} = 2^{3} = 8$$

Wszystkie 3 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie z notacją: masa cząsteczki wody to około $3 \cdot 10^{-26}$ kg. Jaka jest łączna masa $2 \cdot 10^{26}$ takich cząsteczek?

   $$3 \cdot 10^{-26} \cdot 2 \cdot 10^{26}$$

   Jak myślisz, ile wyjdzie?

   A5 kgB6 kgC$6 \cdot 10^{52}$ kg

2. 2

   Osobno liczby, osobno potęgi. Wykładniki: minus dwadzieścia sześć plus dwadzieścia sześć to zero, a dziesięć do zerowej to jeden.

   $$(3 \cdot 2) \cdot 10^{-26+26} = 6 \cdot 10^{0} = 6$$
3. 3

   Odpowiedź: 6 kg — mniej więcej tyle, ile wiadro wody. Ogromne wykładniki, a rachunek na jeden oddech.

   $$6 \text{ kg}$$
4. 4

   Zadanie z geometrią: kwadratowa działka ma pole 18 metrów kwadratowych. Oceń prawdziwość zdania: „bok działki jest dłuższy niż 4 m”. Bok to pierwiastek z pola.

   $$a = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$
5. 5

   Porównujemy z czwórką przez kwadraty: osiemnaście kontra szesnaście. Zdanie jest PRAWDZIWE — i wcale nie potrzebowaliśmy wartości przybliżonej.

   $$18 > 16 = 4^2 \;\Rightarrow\; \sqrt{18} > 4$$

Wszystkie 5 kroków odsłonięte.