Analiza danych w zadaniach egzaminacyjnych

1. 1

   Słupki podają liczebności, czyli wagi każdej wartości.

   $$\text{waga} = \text{wysokosc slupka}$$
2. 2

   Sumę wszystkich ocen dostajesz tak: każdą ocenę mnożysz przez to, ile razy wystąpiła.

   $$\text{suma} = \text{ocena} \cdot \text{ile razy} + \text{ocena} \cdot \text{ile razy} + \ldots$$
3. 3

   Potem dzielisz przez łączną liczbę uczniów, czyli przez sumę słupków.

   $$\text{srednia} = \frac{\text{suma ocen}}{\text{liczba uczniow}}$$
4. 4

   To jest właśnie średnia ważona — z klasy siódmej znasz ją z ocen ze sprawdzianów liczonych podwójnie. Tutaj wagą jest liczba uczniów.

   $$\text{waga} = \text{liczba uczniow}$$

Wszystkie 4 kroków odsłonięte.

1. 1

   Mediana z diagramu wymaga innego triku: nie sortujesz wszystkich danych ręcznie, tylko liczysz narastająco.

   $$1, \; 1{+}3, \; 1{+}3{+}6, \; \ldots$$
2. 2

   Jeśli uczniów jest 20, mediana to średnia dziesiątej i jedenastej wartości.

   $$\text{mediana} = \frac{10. + 11.}{2}$$
3. 3

   Dodajesz słupki od lewej, aż przekroczysz dziesiątkę i jedenastkę — i już wiesz, w którym słupku te wartości siedzą.

   $$\text{suma narastajaca} \geq 11$$

Wszystkie 3 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie: diagram pokazuje, ilu uczniów klasy 8b dostało poszczególne oceny ze sprawdzianu z matematyki. Odczytaj dane z osi i oblicz średnią, medianę oraz dominantę.

   $$\text{oceny: } 2, 3, 4, 5, 6$$
2. 2

   Krok pierwszy: sprawdzamy oś pionową i odczytujemy wysokości słupków. Ocenę 2 dostała jedna osoba, ocenę 3 — trzy osoby, ocenę 4 — sześć, ocenę 5 — siedem, ocenę 6 — trzy.

   $$1, \; 3, \; 6, \; 7, \; 3$$
3. 3

   Krok drugi: liczymy uczniów. To suma wysokości wszystkich słupków, a nie liczba słupków.

   $$1+3+6+7+3 = 20 \text{ uczniow}$$
4. 4

   Krok trzeci: suma ocen. Każdą ocenę mnożymy przez liczbę uczniów, którzy ją dostali — to średnia ważona z liczebnościami jako wagami.

   $$2 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 4 \cdot 6 + 5 \cdot 7 + 6 \cdot 3$$
5. 5

   Liczymy po kolei i sumujemy.

   $$2 + 9 + 24 + 35 + 18 = 88$$
6. 6

   Krok czwarty: średnia. Dzielimy sumę ocen przez liczbę uczniów.

   $$\frac{88}{20} = 4{,}4$$
7. 7

   Krok piąty: mediana. Uczniów jest 20, czyli parzyście wielu — potrzebujemy dziesiątej i jedenastej oceny w kolejności rosnącej. Zliczamy słupki narastająco od lewej.

   $$1, \; 1{+}3{=}4, \; 4{+}6{=}10, \; 10{+}7{=}17$$
8. 8

   Do oceny 4 włącznie mamy dokładnie dziesięciu uczniów, więc dziesiąta ocena to 4. Jedenasta należy już do następnego słupka, czyli jest piątką.

   $$10. \to 4, \quad 11. \to 5$$
9. 9

   Mediana to średnia tych dwóch wartości.

   $$\frac{4+5}{2} = 4{,}5$$
10. 10

    Krok szósty: dominanta. Najwyższy słupek stoi nad oceną 5 (siedmiu uczniów), więc dominantą jest 5 — podpis z osi poziomej, nie wysokość słupka.

    $$\text{dominanta} = 5$$
11. 11

    Kontrola: średnia i mediana muszą mieścić się między najniższą a najwyższą oceną. Obie mieszczą się między 2 a 6.

    $$2 < 4{,}4 < 4{,}5 < 6 \; \checkmark$$

Wszystkie 11 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie: tabela pokazuje wyniki próbnego egzaminu w dwóch klasach. Klasa 8a liczy 25 uczniów i ma średnią 20 punktów, klasa 8b liczy 15 uczniów i ma średnią 28 punktów. Oceń, czy zdania A, B i C są prawdziwe.

   $$25 + 15 = 40 \text{ uczniow}$$
2. 2

   Zdanie A: „Średnia liczba punktów wszystkich czterdziestu uczniów wynosi 24”. Kusi, żeby uśrednić średnie, bo $\frac{20+28}{2} = 24$. Sprawdzamy to rachunkiem.

   $$\frac{20+28}{2} = 24 \; ?$$

   Jak myślisz, ile wyjdzie?

   A23B24C25

3. 3

   Żeby połączyć średnie, wracamy do sum punktów. Klasa 8a: dwadzieścia pięć osób po średnio dwadzieścia punktów.

   $$25 \cdot 20 = 500 \text{ punktow}$$
4. 4

   Klasa 8b: piętnaście osób po średnio dwadzieścia osiem punktów.

   $$15 \cdot 28 = 420 \text{ punktow}$$
5. 5

   Teraz dzielimy łączną sumę przez łączną liczbę uczniów.

   $$\frac{500 + 420}{40} = \frac{920}{40} = 23$$
6. 6

   Wychodzi 23, a nie 24. Zdanie A jest FAŁSZYWE. Wynik jest bliżej dwudziestu, bo liczniejsza klasa 8a waży w średniej więcej.

   $$\text{A: falsz}$$
7. 7

   Zdanie B: „Uczniowie klasy 8b zdobyli łącznie więcej punktów niż uczniowie 8a”. Sumy już mamy — porównujemy.

   $$500 > 420$$
8. 8

   Zdanie B jest FAŁSZYWE. Klasa 8b ma wyższą średnią, ale jest mniej liczna, więc łącznie zdobyła mniej punktów.

   $$\text{B: falsz}$$
9. 9

   Zdanie C: „W klasie 8b jest uczeń, który zdobył co najmniej 28 punktów”. Tu nie ma czego liczyć — trzeba się zastanowić. Gdyby każdy z piętnastu uczniów miał mniej niż 28 punktów, cała suma byłaby mniejsza niż 420, a więc średnia mniejsza niż 28.

   $$\text{suma} < 15 \cdot 28 = 420$$
10. 10

    To przeczy danym z tabeli, więc ktoś musi mieć co najmniej 28 punktów. Zdanie C jest PRAWDZIWE.

    $$\text{C: prawda}$$

Wszystkie 10 kroków odsłonięte.