Dzielniki i wielokrotności

1. 1

   Weźmy nasze $12$ ciastek. Cztery najmniejsze liczby dzielą je równo, bez ani jednego ciastka reszty.

   $$12 : 1 = 12,\quad 12 : 2 = 6,\quad 12 : 3 = 4,\quad 12 : 4 = 3$$
2. 2

   Piątka nie przechodzi — zostają dwa ciastka, których nie ma gdzie położyć.

   $$12 : 5 = 2 \text{ r. } 2$$
3. 3

   Szóstka znowu wychodzi równo, więc jest dzielnikiem.

   $$12 : 6 = 2$$
4. 4

   Liczby od $7$ do $11$ zostawiają kolejno reszty $5$, $4$, $3$, $2$ i $1$ — żadna dzielnikiem nie jest.

   $$12 : 7 = 1 \text{ r. } 5,\quad \ldots,\quad 12 : 11 = 1 \text{ r. } 1$$
5. 5

   Na koniec sama dwunastka: wszystkie ciastka na jednym talerzyku, reszta zero.

   $$12 : 12 = 1$$

Wszystkie 5 kroków odsłonięte.

1. 1

   Wypisywanie dzielników po kolei działa, ale łatwo któryś przeoczyć. Jest lepszy sposób: szukamy par. Za każdym razem, gdy znajdziesz dzielnik, drugi dostajesz gratis — to wynik dzielenia. Zaczynamy od $1$, bo jedynka dzieli wszystko.

   $$1 \cdot 36 = 36$$
2. 2

   Mamy od razu dwa dzielniki: $1$ i $36$. Idziemy dalej, sprawdzamy $2$. Liczba $36$ jest parzysta, więc dzieli się przez $2$, a wynik to $18$ — druga część pary.

   $$2 \cdot 18 = 36$$
3. 3

   Teraz $3$. Dzielimy: $36 : 3 = 12$, bez reszty. Dopisujemy parę $3$ i $12$.

   $$3 \cdot 12 = 36$$
4. 4

   Kolej na $4$. Wychodzi $36 : 4 = 9$, znowu równo. Para $4$ i $9$ ląduje na liście.

   $$4 \cdot 9 = 36$$
5. 5

   Piątka? Sprawdzamy: $36 : 5 = 7$ i zostaje reszta $1$. Nie dzieli się, więc $5$ pomijamy i idziemy dalej.

   $$36 : 5 = 7 \text{ r. } 1$$
6. 6

   Szóstka: $36 : 6 = 6$. Tym razem oba składniki pary są takie same. To znak, że dotarliśmy do środka — i tu kończymy.

   $$6 \cdot 6 = 36$$
7. 7

   Dlaczego koniec? Bo następna para byłaby $9 \cdot 4$, potem $12 \cdot 3$ — czyli dokładnie te same pary, tylko odwrócone. Nic nowego już nie znajdziemy.

   $$9 \cdot 4 = 36 \quad \text{to ta sama para co } 4 \cdot 9$$
8. 8

   Zbieramy wszystko po kolei od najmniejszej: z par $1$ i $36$, $2$ i $18$, $3$ i $12$, $4$ i $9$, oraz $6$. Sprawdzenie: każda z tych liczb dzieli $36$ bez reszty, a jest ich dziewięć.

   $$1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$$

Wszystkie 8 kroków odsłonięte.

1. 1

   Pytanie. Ile liczb od $1$ do $100$ dzieli się przez $7$?

2. 2

   Wypisywanie wszystkich zajęłoby chwilę i łatwo o pomyłkę. Zamiast tego dzielimy setkę przez siedem.

   $$100 : 7 = 14 \text{ r. } 2$$
3. 3

   Reszta nas nie interesuje — liczy się, ile pełnych siódemek mieści się w stu. Takich liczb jest $14$: od $7$ do $98$.

   $$7 \cdot 14 = 98$$
4. 4

   Trudniejszy wariant. Ile liczb od $1$ do $100$ dzieli się jednocześnie przez $4$ i przez $6$? Taka liczba musi być wielokrotnością ich najmniejszej wspólnej wielokrotności.

   $$\mathrm{NWW}(4, 6) = 12$$

   Jak myślisz, ile wyjdzie?

   A4B8C12

5. 5

   Zostaje ten sam rachunek co poprzednio: $100 : 12 = 8$ reszty $4$, więc takich liczb jest osiem.

   $$100 : 12 = 8 \text{ r. } 4$$

Wszystkie 5 kroków odsłonięte.

1. 1

   Czy $24$ jest dzielnikiem $12$? Nie — $24$ jest większe od $12$, a dzielnik większy być nie może.

   $$24 > 12$$
2. 2

   Czy $24$ jest wielokrotnością $12$? Tak, i wielkości też się zgadzają.

   $$12 \cdot 2 = 24$$
3. 3

   Czy $12$ jest dzielnikiem $24$? Tak, dzieli się bez reszty, a $12$ jest mniejsze od $24$.

   $$24 : 12 = 2$$

Wszystkie 3 kroków odsłonięte.

1. 1

   Czy $7$ jest dzielnikiem $84$? Nie zgadujemy — dzielimy. Wychodzi równo, bez reszty, więc tak: $7$ jest dzielnikiem $84$. Kontrola wielkości też pasuje, bo $7$ jest mniejsze od $84$.

   $$84 : 7 = 12$$
2. 2

   Ta sama para liczb, pytanie odwrócone: czy $84$ jest wielokrotnością $7$? Tak, i to z tego samego rachunku — skoro $84 : 7 = 12$, to $7 \cdot 12 = 84$. Wielokrotność jest większa od liczby, wszystko się zgadza.

   $$7 \cdot 12 = 84$$
3. 3

   Ustawiamy $20$ krzeseł w równe rzędy. Ile krzeseł może być w rzędzie? Tylko tyle, ile dzieli $20$ bez reszty — czyli szukamy dzielników. Idziemy parami: $1 \cdot 20$, $2 \cdot 10$, $4 \cdot 5$. Trójka odpada, bo $20 : 3$ zostawia resztę $2$.

   $$1, 2, 4, 5, 10, 20$$
4. 4

   Sprawdzenie całej listy: $20 : 1 = 20$, $20 : 2 = 10$, $20 : 4 = 5$, $20 : 5 = 4$, $20 : 10 = 2$, $20 : 20 = 1$. Sześć dzielników, każdy bez reszty. Możliwości ustawienia jest dokładnie sześć — skończenie wiele.

   $$20 : 4 = 5 \quad \text{oraz} \quad 20 : 5 = 4$$
5. 5

   Kupujemy krzesła w kartonach po $20$ sztuk. Ile krzeseł możemy mieć? Teraz szukamy wielokrotności $20$: jeden karton, dwa kartony, trzy… Ta lista nigdy się nie kończy, bo kartonów można kupić dowolnie wiele.

   $$20, 40, 60, 80, 100, \ldots$$
6. 6

   Te same krzesła, dwa zupełnie różne spisy. Rzędy dały liczby nie większe od $20$ i było ich sześć. Kartony dają liczby nie mniejsze od $20$ i jest ich nieskończenie wiele. Wspólną liczbą jest tylko samo $20$.

   $$20 = 20$$

Wszystkie 6 kroków odsłonięte.