Ola obliczyła $30 - 4 \cdot 2$ i otrzymała 52. Gdzie popełniła błąd?

Policzyła od lewej: najpierw odjęła, potem pomnożyła

Pomyliła się w tabliczce mnożenia

Powinna była najpierw dodać, a nie odjąć

Nie popełniła błędu, 52 jest poprawne

Kolejność działań z potęgami i nawiasami — matematyka klasa 5

Cześć! Zapytałem dwóch kolegów, ile wynosi $2 + 3 \cdot 4$ . Jeden powiedział 20, drugi 14. Obaj liczyli poprawnie — tylko w innej kolejności. Ale poprawna odpowiedź jest jedna: 14. Matematyka musi być jednoznaczna, więc kolejność działań jest ustalona raz na zawsze. Dziś ją poznasz razem z nowym graczem: potęgą.

Cztery piętra kolejności

Działania wykonujemy w ustalonym porządku. Wyobraź sobie cztery piętra — schodzimy od góry i nie ruszamy niższego, dopóki nie skończymy wyższego.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

poprawnie: 32

od lewej — aż 432

$50 - 2 \cdot 3^2$: potęga przed mnożeniem daje 32, liczenie od lewej — 432

Piętro	Co robimy	Uwaga
1	nawiasy	najpierw to, co w środku
2	potęgi	nowość w tej lekcji
3	mnożenie i dzielenie	po kolei od lewej
4	dodawanie i odejmowanie	po kolei od lewej

Wracamy do sporu z początku lekcji

1
W działaniu $2 + 3 \cdot 4$ mnożenie stoi na piętrze trzecim, a dodawanie dopiero na czwartym.
$2 + 3 \cdot 4$
2
Więc najpierw mnożenie, a dopiero potem dodawanie.
$2 + 12 = 14$
3
POTĘGA wskakuje wysoko — zaraz po nawiasach, przed mnożeniem. Najpierw liczymy $2^3 = 8$ , a dopiero potem mnożymy przez 3.
$3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24$
4
Gdyby zrobić odwrotnie i najpierw pomnożyć, wyszłaby zupełnie inna liczba.
$(3 \cdot 2)^3 = 6^3 = 216$

Wszystkie kroki za Tobą!

Dwie zasady, o których łatwo zapomnieć

Zasada pierwsza: w obrębie jednego piętra liczymy OD LEWEJ DO PRAWEJ.

0

5

10

15

20

25

poprawnie: 5

od prawej — 20

$100 : 10 : 2$: liczenie od lewej daje 5, zaczynanie od prawej — 20

Mnożenie i dzielenie stoją na tym samym piętrze — żadne nie ma pierwszeństwa. To samo dotyczy dodawania i odejmowania. Zobacz, dlaczego to ważne:

$100 : 10 : 2$

Od lewej: $100 : 10 = 10$ , potem $10 : 2 = 5$ . Gdyby ktoś zaczął od prawej strony, wyszłoby $100 : 5 = 20$ — źle.

Tak samo przy odejmowaniu: $20 - 8 - 5$ to od lewej $12 - 5 = 7$ , a nie $20 - 3 = 17$ .

Zasada druga: nawias zmienia wszystko

Nawias to sposób, żeby powiedzieć: to policz najpierw, niezależnie od pięter. Porównaj dwa bardzo podobne zapisy:

Działanie	Rachunek	Wynik
$2 + 3^2$	najpierw potęga: $2 + 9$	11
$(2 + 3)^2$	najpierw nawias: $5^2$	25

Te same liczby, te same znaki — a wyniki różnią się ponad dwukrotnie. Nawias jest najsilniejszy w całej matematyce.

Liczymy krok po kroku: 50 minus 2 razy 3 do kwadratu

1
Zadanie: oblicz wartość wyrażenia. Zanim cokolwiek policzysz, rozejrzyj się i znajdź najwyższe piętro, które tu występuje.
$50 - 2 \cdot 3^2$
2
Nawiasów nie ma, więc schodzimy na piętro drugie — potęgi. Mamy jedną: trzy do kwadratu.
$3^2 = 9$
3
Przepisujemy działanie z policzoną potęgą. Reszty na razie nie ruszamy.
$50 - 2 \cdot 9$
4
Piętro trzecie — mnożenie.
$2 \cdot 9 = 18$
5
Piętro czwarte — zostało odejmowanie.
$50 - 18 = 32$
6
Wynik to 32. Zwróć uwagę, jak łatwo byłoby się pomylić, licząc od lewej: $50 - 2 = 48$ , potem $48 \cdot 9 = 432$ . Zupełnie inna liczba.
$50 - 2 \cdot 3^2 = 32$
Wskazówka
Przepisuj działanie po każdym kroku. Wtedy nie zgubisz się nawet w długim wyrażeniu.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Oblicz wartość wyrażenia:

20 - 12 : 4

Pułapka! Liczenie po kolei od lewej do prawej

To najczęstszy błąd w całym dziale i bierze się z odruchu czytania: skoro czytamy od lewej, to i liczymy od lewej.

Tak nie wolno. Zobacz, jak bardzo rozjeżdżają się wyniki:

Działanie	Błędnie (od lewej)	Poprawnie (wg pięter)
$2 + 3 \cdot 4$	$5 \cdot 4 = 20$	$2 + 12 =$ 14
$10 - 2^2$	$8^2 = 64$	$10 - 4 =$ 6
$6 + 4 : 2$	$10 : 2 = 5$	$6 + 2 =$ 8

Od lewej — tylko w obrębie jednego piętra

Uwaga na subtelność, która myli nawet ostrożnych: od lewej liczymy tylko w obrębie tego samego piętra. Zdanie brzmi więc: najpierw wybierz piętro, a dopiero potem, jeśli na tym piętrze jest kilka działań, rób je od lewej.

Wykładnik dotyczy tylko swojej podstawy

I jeszcze jedna pułapka z potęgą. W zapisie $3 \cdot 2^3$ wykładnik dotyczy wyłącznie dwójki, a nie całego iloczynu. Trójka stoi obok i czeka na swoją kolej. Gdyby miała być podniesiona do potęgi razem z dwójką, ktoś musiałby napisać $(3 \cdot 2)^3$ .

Wyrażenie z nawiasem i potęgą naraz

1
Zadanie: oblicz wartość wyrażenia z nawiasem, potęgą i dzieleniem. Wygląda groźnie, ale piętra rozłożą je na czynniki pierwsze.
$(4 + 2)^2 : 9 + 5$
2
Piętro pierwsze — nawias. Liczymy, co jest w środku.
$4 + 2 = 6$
3
Przepisujemy. Teraz widać, że nawias zamienił się w zwykłą liczbę pod potęgą.
$6^2 : 9 + 5$
4
Piętro drugie — potęga. Sześć do kwadratu to sześć razy sześć.
$6^2 = 36$
5
Piętro trzecie — dzielenie.
$36 : 9 = 4$
6
Piętro czwarte — dodawanie. Wynik to 9.
$4 + 5 = 9$
Wskazówka
Każde piętro obsłużone po kolei zamienia straszne wyrażenie w prosty rachunek.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Oblicz wartość wyrażenia:

2 + 3^2 \cdot 2

Ściąga do zapamiętania

W jakiej kolejności liczysz działania i gdzie w tej drabince stoi potęga?

Cztery piętra, schodzisz od góry: nawiasy, potęgi, mnożenie i dzielenie, dodawanie i odejmowanie.
• W obrębie jednego piętra liczysz od lewej: $100 : 10 : 2 = 5$ , a nie $20$ ; $20 - 8 - 5 = 7$ , a nie $17$ .
• Potęga stoi wyżej niż mnożenie: $3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24$ , a nie $6^3 = 216$ .
• Nawias jest najsilniejszy: $2 + 3^2 = 11$ , ale $(2 + 3)^2 = 25$ .
• Wykładnik dotyczy wyłącznie liczby stojącej tuż przed nim, chyba że nawias mówi inaczej.
• Najczęstszy błąd to liczenie po kolei od lewej: $2 + 3 \cdot 4 = 14$ , nie $20$ ; $10 - 2^2 = 6$ , nie $64$ .
• Przepisuj całe działanie po każdym kroku — wtedy nie zgubisz się w długim wyrażeniu.

Cztery piętra kolejności

Wracamy do sporu z początku lekcji

Dwie zasady, o których łatwo zapomnieć

Zasada druga: nawias zmienia wszystko

Liczymy krok po kroku: 50 minus 2 razy 3 do kwadratu

Pułapka! Liczenie po kolei od lewej do prawej

Od lewej — tylko w obrębie jednego piętra

Wykładnik dotyczy tylko swojej podstawy

Wyrażenie z nawiasem i potęgą naraz

Ściąga do zapamiętania

Sprawdź się!