Potęgi o wykładniku naturalnym

około 12 minut

W tej lekcji1/9

Złóż kartkę papieru na pół. Potem jeszcze raz na pół. I jeszcze raz… Po 4 złożeniach masz $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ warstw! Matematycy mają na takie mnożenie w kółko specjalny skrót — potęgę. Poznajmy go!

Potęga to skrót na mnożenie tej samej liczby

Zamiast pisać $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ , matematycy piszą krótko: $2^4$ .

Czytamy to: dwa do potęgi czwartej. Zapis ma dwie części:

- podstawa (duża liczba na dole) — mówi, co mnożymy,
- wykładnik (mała liczba u góry) — mówi, ile razy ta liczba występuje w mnożeniu.

Zapis	Co oznacza	Wynik
$3^2$	$3 \cdot 3$	9
$2^3$	$2 \cdot 2 \cdot 2$	8
$5^1$	samo $5$	5
$2^4$	$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$	16

Wykładnik $1$ to najprostszy przypadek: $7^1 = 7$ , bo liczba występuje tylko raz.

Kwadrat i sześcian — potęgi z własnymi imionami

Dwie potęgi są tak ważne, że dostały swoje nazwy.

5² = 5 · 5 = 25 kwadracików

$5^2$ czytamy pięć do kwadratu — bo $5 \cdot 5 = 25$ to dokładnie tyle, ile małych kwadracików mieści się w kwadracie o boku 5. Zobacz na rysunku!

$5^3$ czytamy pięć do sześcianu — bo $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$ to liczba kostek w sześcianie o krawędzi 5.

Obliczamy $3^4$ krok po kroku

1
Rozpisujemy potęgę: podstawa 3 występuje w mnożeniu 4 razy.
$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$
2
Mnożymy od lewej: najpierw $3 \cdot 3 = 9$ .
$3^4 = 9 \cdot 3 \cdot 3$
3
Dalej: $9 \cdot 3 = 27$ .
$3^4 = 27 \cdot 3$
4
I ostatni krok: $27 \cdot 3 = 81$ . Gotowe!
$3^4 = 81$
Wskazówka
Zauważ: liczby rosną błyskawicznie. $3^4$ to już 81, a $3^5$ to aż 243!

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Oblicz wartość potęgi $2^5$ .

Potęgi liczby 10 — najłatwiejsze na świecie

1
Zacznijmy od $10^2$ : dziesięć razy dziesięć to sto.
$10^2 = 10 \cdot 10 = 100$
2
Teraz $10^3$ : sto razy dziesięć to tysiąc.
$10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$
3
Widzisz wzór? Wykładnik mówi, ile ZER stoi po jedynce!
$10^6 = 1\,000\,000$
4
Dlatego milion to $10^6$ , a miliard to $10^9$ — potęgi pozwalają krótko zapisywać ogromne liczby.
$10^9 = 1\,000\,000\,000$
5
Wróćmy do kartki z początku lekcji. Każde złożenie podwaja liczbę warstw, więc po 10 złożeniach jest ich $2^{10}$ , czyli 1024. Kartka nadal mieści się w dłoni, a warstw ponad tysiąc — tak szybko rosną potęgi.
$2^{10} = 1024$
Wskazówka
Dlatego zwykłej kartki nie złożysz osiem razy — grubość rośnie potęgowo.

Wszystkie kroki za Tobą!

Pułapka! Potęga to NIE mnożenie podstawy przez wykładnik

Najczęstszy błąd na świecie: $2^3 = 6$ ? Nie!

$2^3$ to $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ , a nie $2 \cdot 3 = 6$ . Wykładnik mówi, ile razy mnożymy — sam nie bierze udziału w mnożeniu.

Druga pułapka: kolejność ma znaczenie! $2^3 = 8$ , ale $3^2 = 9$ — to zupełnie różne liczby, choć zapis wygląda podobnie.

Twoja kolej

Oblicz $4^3$ (cztery do sześcianu).

Ściąga do zapamiętania

Co oznacza zapis $a^n$ i dlaczego $2^3$ to nie $6$ ?

$a^n$ to iloczyn, w którym liczba $a$ występuje $n$ razy: $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ .
• Podstawa $a$ mówi, co mnożymy, wykładnik $n$ — ile razy.
• $a^2$ to kwadrat, $a^3$ to sześcian: $5^2 = 25$ (kwadracików w kwadracie o boku $5$ ), $5^3 = 125$ .
• Wykładnik sam nie bierze udziału w mnożeniu: $2^3 = 8$ , a nie $2 \cdot 3 = 6$ .
• Kolejność ma znaczenie: $2^3 = 8$ , ale $3^2 = 9$ .
• $a^1 = a$ , a jedynkę potęgujesz do woli: $1^{100} = 1$ .
• Potęgi dziesiątki: wykładnik to liczba zer po jedynce, $10^6 = 1\,000\,000$ .

Sprawdź się!

Ile wynosi $3^2$ ?

Jak krótko zapisać $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$ ?

Która liczba jest większa: $2^3$ czy $3^2$ ?

Ile wynosi $10^5$ ?

Ile wynosi $1^{50}$ ?

Następny temat

Kolejność działań z potęgami i nawiasami