Mnożenie pisemne przez liczby wielocyfrowe

około 15 minut

W tej lekcji1/13

Cześć! W pamięci policzysz $243 \cdot 2$ . Ale $243 \cdot 12$ ? Tu potrzebna jest kartka. Dobra wiadomość jest taka, że mnożenie przez liczbę dwucyfrową to po prostu dwa łatwe mnożenia i jedno dodawanie. Nie ma w tym nic nowego — wszystko już umiesz, trzeba tylko ułożyć to w odpowiedniej kolejności.

Rozbij mnożnik na dziesiątki i jedności

Cała metoda opiera się na jednym pomyśle: liczbę 12 rozkładamy na $10 + 2$ .

124

·32

3968

Dwa wiersze cząstkowe, potem suma

$243 \cdot 12 = 243 \cdot 10 + 243 \cdot 2$

Oba te mnożenia są łatwe. Mnożenie przez 10 to dopisanie zera, a mnożenie przez 2 znasz z tabliczki. Wystarczy dodać wyniki:

$2430 + 486 = 2916$

Dwa iloczyny częściowe pod kreską

W zapisie pisemnym robimy dokładnie to samo, tylko zwięźlej. Pod kreską powstają dwa iloczyny częściowe:

243

·12

2916

Drugi wiersz cząstkowy stoi o jedno miejsce dalej w lewo

Wiersz	Co liczymy	Wynik
pierwszy	$243 \cdot 2$ (jedności)	486
drugi	$243 \cdot 1$ dziesiątka	2430
suma	dodajemy oba	2916

Najważniejszy szczegół całej lekcji: drugi iloczyn częściowy zapisujemy przesunięty o jedno miejsce w lewo, bo mnożymy nie przez 1, tylko przez 1 dziesiątkę, czyli przez 10. To przesunięcie zastępuje dopisywanie zera.

Liczby trzycyfrowe i szacowanie na kontrolę

Przy mnożniku trzycyfrowym schemat się nie zmienia — dochodzi tylko trzeci wiersz, przesunięty o dwa miejsca w lewo (bo to setki).

Mnożymy przez cyfrę stojącą w rzędzie	Przesuwamy o
jedności	0 miejsc
dziesiątek	1 miejsce
setek	2 miejsca

Szacowanie jako kontrola

Zanim przepiszesz wynik, sprawdź go z grubsza — to zajmuje trzy sekundy i wyłapuje najgroźniejsze błędy.

Dla $243 \cdot 12$ zaokrąglamy: $240 \cdot 12 \approx 2880$ . Nasz wynik 2916 leży bardzo blisko, więc jest wiarygodny. Gdyby wyszło 291 albo 29160, od razu wiadomo, że coś przesunęło się o rząd wielkości.

To najcenniejszy nawyk w całym rachunku pisemnym. Błąd w tabliczce mnożenia zmienia wynik nieznacznie, ale błąd w przesunięciu zmienia go dziesięciokrotnie — a właśnie taki wyłapuje szacowanie.

Mnożymy 156 przez 34

1
Zadanie: pomnóż 156 przez 34. Zapisujemy liczby jedna pod drugą, wyrównane do prawej strony.
$156 \cdot 34$
2
Krok pierwszy: mnożymy przez cyfrę jedności mnożnika, czyli przez 4.
$156 \cdot 4 = 624$
3
Krok drugi: mnożymy przez cyfrę dziesiątek, czyli przez 3. Ale uwaga — to 3 dziesiątki, więc naprawdę mnożymy przez 30.
$156 \cdot 30 = 4680$
4
Krok trzeci: dodajemy oba iloczyny częściowe. W zapisie pisemnym drugi stoi przesunięty o jedno miejsce w lewo, co odpowiada temu dodatkowemu zeru.
$624 + 4680 = 5304$
5
Wynik to 5304. Teraz obowiązkowa kontrola przez oszacowanie: 156 zaokrąglamy do 150, a mnożnik zostawiamy bez zmian.
$150 \cdot 34 = 5100$
6
Oszacowanie daje 5100, nasz wynik 5304 — bardzo blisko. Rachunek jest wiarygodny.
$156 \cdot 34 = 5304$
Wskazówka
Zawsze szacuj po policzeniu. To trzy sekundy, które ratują przed wpisaniem bzdury.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Oblicz iloczyn:

208 \cdot 13

Pułapka! Brak przesunięcia drugiego wiersza

To najczęstszy błąd w mnożeniu pisemnym i zarazem najbardziej kosztowny, bo psuje wynik dziesięciokrotnie.

Uczeń liczy $156 \cdot 34$ , zapisuje pod sobą 624 i 468, dodaje bez przesunięcia i otrzymuje 1092. Tymczasem prawidłowy wynik to 5304 — pięć razy więcej.

Skąd bierze się pomyłka? Cyfra 3 w liczbie 34 stoi w rzędzie dziesiątek, więc oznacza 30, a nie 3. Mnożąc przez nią, liczymy $156 \cdot 30 = 4680$ , a nie $156 \cdot 3 = 468$ .

Dwa sposoby, żeby się przed tym uchronić

1. Dopisuj zero zamiast przesuwać. Zamiast pilnować kolumn, po prostu napisz 4680. Wynik ten sam, a ryzyko mniejsze.
2. Szacuj. $150 \cdot 34$ to około 5100, więc odpowiedź 1092 jest bezsensownie mała. Błąd wychodzi natychmiast.

Pułapka! Zgubione przeniesienia

Drugi częsty błąd to gubienie przeniesień przy mnożeniu przez cyfrę. Warto zapisywać je drobniutko nad kolejnymi cyframi i skreślać po użyciu, żeby nie dodać ich dwa razy.

Sprytniej niż pisemnie: 324 razy 25

1
Zadanie: pomnóż 324 przez 25. Można pisemnie, ale najpierw rozejrzyjmy się za skrótem — dwadzieścia pięć to wdzięczna liczba.
$324 \cdot 25$
2
Sposób pisemny: mnożymy przez 5, potem przez 20, i dodajemy.
$324 \cdot 5 = 1620$
3
Drugi iloczyn częściowy, przesunięty o jedno miejsce.
$324 \cdot 20 = 6480$
4
Dodajemy oba i mamy wynik.
$1620 + 6480 = 8100$
5
A teraz skrót, który warto znać: 25 to jedna czwarta setki. Zamiast mnożyć przez 25, można pomnożyć przez 100 i podzielić przez 4.
$324 \cdot 100 = 32400$
6
Dzielimy przez cztery i wychodzi to samo — 8100. Dwa działania w pamięci zamiast całego rachunku pisemnego.
$32400 : 4 = 8100$
Wskazówka
Zanim sięgniesz po kartkę, sprawdź, czy mnożnik nie jest przypadkiem 25, 50 albo 99. Wtedy pamięć wystarczy.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Oblicz iloczyn:

127 \cdot 24

Ściąga do zapamiętania

Mnożenie pisemne przez liczbę wielocyfrową — po co przesuwać drugi wiersz i o ile miejsc?

$243 \cdot 12 = 243 \cdot 10 + 243 \cdot 2 = 2430 + 486 = 2916$ — mnożnik rozbijasz na dziesiątki i jedności, a każdy iloczyn częściowy liczysz osobno.
• Przesunięcie zależy od rzędu cyfry mnożnika: jedności — $0$ miejsc, dziesiątki — $1$ miejsce, setki — $2$ miejsca.
• Brak przesunięcia to najdroższy błąd: $156 \cdot 34$ daje wtedy $1092$ zamiast $5304$ . Cyfra $3$ w liczbie $34$ znaczy $30$ , więc drugi wiersz to $156 \cdot 30 = 4680$ .
• Bezpieczniej dopisać zero niż pilnować kolumn.
• Kontrola przez szacowanie: $240 \cdot 12 \approx 2880$ , więc wynik $2916$ jest wiarygodny.
• Skrót: mnożenie przez $25$ to mnożenie przez $100$ i dzielenie przez $4$ . $324 \cdot 100 = 32\,400$ , a $32\,400 : 4 = 8100$ .

Sprawdź się!

Ile wynosi $132 \cdot 21$ ?

Mnożąc pisemnie przez liczbę dwucyfrową, o ile miejsc przesuwamy drugi iloczyn częściowy?

Ania obliczyła $214 \cdot 32$ i otrzymała 1284. Skąd wiadomo, że to błąd, jeszcze zanim sprawdzimy rachunek?

Jak najszybciej policzyć $48 \cdot 25$ ?

Sklep sprzedał 145 biletów po 24 zł. Ile pieniędzy zebrał?

Następny temat

Dzielenie pisemne