Symetralna odcinka i dwusieczna kąta

1. 1

   Punkt $P$ leży na symetralnej odcinka $AB$, a odległość $|PA|$ wynosi 7 cm. Ile wynosi $|PB|$?

   $$P \in \text{symetralna } AB, \quad |PA| = 7 \text{ cm}$$

   Jak myślisz, ile wyjdzie?

   A3,5 cmB7 cmC14 cm

2. 2

   Własność charakterystyczna daje odpowiedź bez żadnych obliczeń: punkt symetralnej leży równo daleko od obu końców odcinka.

   $$|PB| = |PA| = 7 \text{ cm}$$
3. 3

   Skoro dwa boki trójkąta $ABP$ mają tę samą długość, trójkąt jest równoramienny — to częsty motyw w zadaniach egzaminacyjnych.

   $$|PA| = |PB| \Rightarrow \text{trojkat } ABP \text{ rownoramienny}$$

Wszystkie 3 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie konstrukcyjne: dany jest odcinek AB. Skonstruuj jego symetralną, używając wyłącznie cyrkla i linijki bez podziałki. Niczego nie mierzymy!

   $$\text{dane: odcinek } AB$$
2. 2

   Krok pierwszy: rozstaw cyrkiel na więcej niż połowę długości odcinka AB. Dokładna wartość nie ma znaczenia — ważne, żeby była większa od połowy, i żeby jej już nie zmieniać.

   $$r > \frac{1}{2}|AB|$$
3. 3

   Krok drugi: wbij igłę cyrkla w punkt A i zakreśl łuk — spory, przechodzący nad odcinkiem i pod nim.

   $$\text{luk o srodku } A$$
4. 4

   Krok trzeci: nie zmieniając rozstawu cyrkla, wbij igłę w punkt B i zakreśl drugi taki łuk.

   $$\text{luk o srodku } B, \text{ ten sam } r$$
5. 5

   Łuki przecinają się w dwóch punktach: jednym nad odcinkiem i jednym pod nim. Nazwijmy je P i Q.

   $$P \text{ i } Q$$
6. 6

   Krok czwarty: przyłóż linijkę i poprowadź prostą przez P i Q. Gotowe — to jest symetralna odcinka AB.

   $$\text{prosta } PQ$$
7. 7

   Dlaczego to działa? Punkt P leży na obu łukach o tym samym promieniu, więc |PA| = |PB| — jest równo odległy od końców. Tak samo Q. A prosta przez dwa takie punkty to właśnie zbiór punktów równo odległych od A i B.

   $$|PA| = |PB| = r, \quad |QA| = |QB| = r$$
8. 8

   Bonus: punkt przecięcia prostej PQ z odcinkiem AB to dokładnie środek odcinka. Konstrukcja symetralnej to zarazem konstrukcyjny sposób na znalezienie środka odcinka bez linijki z podziałką.

   $$PQ \cap AB = \text{srodek } AB$$

Wszystkie 8 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie konstrukcyjne: dany jest kąt o wierzchołku O. Skonstruuj jego dwusieczną cyrklem i linijką. Kątomierz zostaje w piórniku.

   $$\text{dane: kat o wierzcholku } O$$
2. 2

   Krok pierwszy: wbij cyrkiel w wierzchołek O i zakreśl łuk przecinający oba ramiona kąta. Punkty przecięcia nazwij P i Q. Rozstaw cyrkla jest dowolny.

   $$|OP| = |OQ|$$
3. 3

   Krok drugi: wbij cyrkiel w punkt P i zakreśl łuk we wnętrzu kąta.

   $$\text{luk o srodku } P$$
4. 4

   Krok trzeci: z tym samym rozstawem wbij cyrkiel w punkt Q i zakreśl drugi łuk. Oba łuki przecinają się w punkcie S wewnątrz kąta.

   $$\text{luk o srodku } Q \Rightarrow \text{punkt } S$$
5. 5

   Krok czwarty: poprowadź półprostą z wierzchołka O przez punkt S. To jest dwusieczna kąta.

   $$\text{polprosta } OS$$
6. 6

   Dlaczego to działa? Punkt S jest tak samo oddalony od P jak od Q, a P i Q leżą w równych odległościach od wierzchołka. Cała konstrukcja jest symetryczna względem prostej OS — więc kąt musi dzielić się na dwie równe części.

   $$|SP| = |SQ|, \quad |OP| = |OQ|$$
7. 7

   Sprawdzenie rachunkowe: jeśli kąt miał 76°, to każda z części ma 76° : 2 = 38°. Konstrukcja daje ten podział idealnie, bez kątomierza.

   $$76° : 2 = 38°$$

Wszystkie 7 kroków odsłonięte.