Porównywanie potęg i pierwiastków

1. 1

   Sytuacja pierwsza: ta sama podstawa, większa od 1. Wygrywa większy wykładnik, bo siedem mnożeń przez 3 daje więcej niż pięć.

   $$3^7 > 3^5$$
2. 2

   Sytuacja druga: ten sam wykładnik. Wygrywa większa podstawa, bo mnożymy cztery razy większą liczbę.

   $$5^4 > 3^4$$
3. 3

   Sytuacja trzecia, najciekawsza: różne podstawy i różne wykładniki — porównajmy $4^{6}$ i $2^{10}$. Sprowadzamy obie liczby do wspólnej podstawy; zauważ, że $4 = 2^2$.

   $$4^{6} = \left(2^2\right)^{6} = 2^{12}$$
4. 4

   Teraz podstawy są takie same, więc rozstrzyga wykładnik i wygrywa $4^6$.

   $$2^{12} > 2^{10}$$
5. 5

   Gdy wspólnej podstawy nie widać, a liczby są małe — po prostu policz obie wartości.

   $$2^5 = 32 > 25 = 5^2$$

Wszystkie 5 kroków odsłonięte.

1. 1

   Pierwsze porównanie: $\sqrt{80}$ czy $9$? Podnosimy obie liczby do kwadratu.

   $$\left(\sqrt{80}\right)^2 = 80, \qquad 9^2 = 81$$
2. 2

   Osiemdziesiąt jest mniejsze od osiemdziesięciu jeden, więc oryginały ustawiają się w tej samej kolejności.

   $$80 < 81 \;\Rightarrow\; \sqrt{80} < 9$$
3. 3

   Drugie porównanie: $3\sqrt{2}$ czy $4$? Kwadrat obejmuje oba czynniki.

   $$\left(3\sqrt{2}\right)^2 = 9 \cdot 2 = 18, \qquad 4^2 = 16$$
4. 4

   Osiemnaście jest większe od szesnastu, więc tym razem wygrywa wyrażenie z pierwiastkiem.

   $$18 > 16 \;\Rightarrow\; 3\sqrt{2} > 4$$
5. 5

   Drugi sposób na to samo: wciągnij liczbę pod pierwiastek i porównaj to, co pod nim stoi.

   $$4 = \sqrt{16}, \quad 3\sqrt{2} = \sqrt{18} \;\Rightarrow\; \sqrt{18} > \sqrt{16}$$

Wszystkie 5 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie: ustaw liczby od najmniejszej do największej. Wszystkie trzy są dodatnie, więc zamiast nich możemy porównać ich kwadraty.

   $$3\sqrt{2}, \quad 4, \quad \sqrt{15}$$
2. 2

   Kwadrat pierwszej liczby: kwadrat obejmuje oba czynniki.

   $$\left(3\sqrt{2}\right)^2 = 9 \cdot 2 = 18$$
3. 3

   Kwadrat drugiej liczby.

   $$4^2 = 16$$
4. 4

   Kwadrat trzeciej: pierwiastek i kwadrat się kasują.

   $$\left(\sqrt{15}\right)^2 = 15$$
5. 5

   Porządkujemy kwadraty rosnąco.

   $$15 < 16 < 18$$
6. 6

   Większy kwadrat oznacza większą liczbę (dla liczb dodatnich), więc kolejność oryginałów jest taka sama.

   $$\sqrt{15} < 4 < 3\sqrt{2}$$

Wszystkie 6 kroków odsłonięte.

1. 1

   Podnosimy do kwadratu pierwszą liczbę — kwadrat obejmuje czynnik i pierwiastek.

   $$\left(2\sqrt{5}\right)^2 = 4 \cdot 5 = 20$$
2. 2

   Tak samo drugą liczbę.

   $$\left(3\sqrt{2}\right)^2 = 9 \cdot 2 = 18$$
3. 3

   Większe jest $2\sqrt{5}$ — na przekór intuicji. Liczby przed pierwiastkiem nie wystarczą do rozstrzygnięcia.

   $$20 > 18 \;\Rightarrow\; 2\sqrt{5} > 3\sqrt{2}$$

Wszystkie 3 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie: oceń prawdziwość zdań. Zdanie I: liczba $3^{10}$ jest większa od liczby $9^{6}$. Zdanie II: liczba $\sqrt{30}$ leży między 5 a 6.

   $$\text{I: } 3^{10} > 9^{6}, \qquad \text{II: } 5 < \sqrt{30} < 6$$
2. 2

   Zdanie I: sprowadzamy do wspólnej podstawy. Dziewiątka to trzy do kwadratu.

   $$9^{6} = \left(3^2\right)^{6} = 3^{12}$$
3. 3

   Porównujemy wykładniki przy tej samej podstawie: dziesięć to mniej niż dwanaście. Zdanie I jest FAŁSZEM.

   $$3^{10} < 3^{12} = 9^6$$
4. 4

   Zdanie II: szukamy sąsiednich kwadratów wokół trzydziestki.

   $$25 < 30 < 36$$
5. 5

   Pierwiastkujemy całą nierówność. Zdanie II jest PRAWDĄ.

   $$5 < \sqrt{30} < 6$$

Wszystkie 5 kroków odsłonięte.