Działania łączące potęgi i pierwiastki — matematyka klasa 8

Cześć! Ile to $\sqrt{2^6}$ ? Można uczciwie: $2^6 = 64$ , a $\sqrt{64} = 8$ . Ale spójrz: $8 = 2^3$ — dokładnie połowa wykładnika! To nie przypadek. Potęgi i pierwiastki to dwie strony tej samej monety i kiedy spotykają się w jednym wyrażeniu, potrafią się pięknie upraszczać. Dziś nauczysz się nimi żonglować — a to umiejętność, którą egzamin ósmoklasisty sprawdza co roku.

Pierwiastek i potęga znoszą się nawzajem

Pierwiastek kwadratowy i podnoszenie do kwadratu to działania odwrotne — jak dodawanie i odejmowanie. Stąd dwie kluczowe równości (dla $a \geq 0$ ):

0

8

16

24

32

2³

2⁴

Potęga i pierwiastek to działania odwrotne

$\left(\sqrt{a}\right)^2 = a$ oraz $\sqrt{a^2} = a$

Przykłady: $\left(\sqrt{5}\right)^2 = 5$ , $\left(\sqrt{13}\right)^2 = 13$ , $\sqrt{9^2} = 9$ . Żadnego liczenia — kwadrat i pierwiastek po prostu się kasują.

Iloczyn, iloraz i pierwiastki sześcienne

Te same reguły obowiązują pierwiastki z iloczynu i ilorazu, które znasz z klasy siódmej — i warto je sprawdzić na liczbach, zanim się z nich skorzysta: $\sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6$ , a $\sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6$ . Zgadza się.

To samo z sześcianami: $\left(\sqrt[3]{a}\right)^3 = a$ i $\sqrt[3]{a^3} = a$ , na przykład $\sqrt[3]{4^3} = 4$ .

Wyższe potęgi rozbijamy na kwadraty

1
Co z wyższymi potęgami? Rozbij je na kwadraty — wtedy pierwiastek skasuje się z zewnętrznym kwadratem. Czwarta potęga pierwiastka to kwadrat kwadratu.
$\left(\sqrt{3}\right)^4 = \left(\left(\sqrt{3}\right)^2\right)^2 = 3^2 = 9$
2
Tak samo działa zagadka ze wstępu: szóstą potęgę dwójki zapisujemy jako kwadrat, a pierwiastek go zdejmuje.
$\sqrt{2^6} = \sqrt{\left(2^3\right)^2} = 2^3 = 8$
3
I jeszcze jeden tej samej rodziny — pierwiastek kwadratowy zmniejsza wykładnik o połowę.
$\sqrt{5^4} = \sqrt{\left(5^2\right)^2} = 5^2 = 25$
4
Osobny przypadek to potęga z czynnikiem przed pierwiastkiem: kwadrat obejmuje oba czynniki, i liczbę, i pierwiastek.
$\left(2\sqrt{3}\right)^2 = 2^2 \cdot \left(\sqrt{3}\right)^2 = 4 \cdot 3 = 12$

Wszystkie kroki za Tobą!

Wyłączanie czynnika przed pierwiastek

Z klasy siódmej znasz wzory na mnożenie i dzielenie pierwiastków:

Kwadrat o polu 50 ma bok długości √50, czyli 5√2 — tyle samo, tylko wygodniej zapisane

$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ oraz $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Najważniejsze zastosowanie na egzaminie: wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka. Chodzi o to, żeby spod pierwiastka „wyciągnąć” największy możliwy kwadrat:

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$

Metoda: rozłóż liczbę na kwadrat razy reszta, spierwiastkuj kwadrat, reszta zostaje pod pierwiastkiem.

Sześć rozkładów, które wracają najczęściej

Poniższe sześć rozkładów pojawia się na egzaminie raz za razem — warto je rozpoznawać od razu.

Pierwiastek	Rozkład	Wynik
$\sqrt{8}$	$\sqrt{4 \cdot 2}$	$2\sqrt{2}$
$\sqrt{12}$	$\sqrt{4 \cdot 3}$	$2\sqrt{3}$
$\sqrt{18}$	$\sqrt{9 \cdot 2}$	$3\sqrt{2}$
$\sqrt{32}$	$\sqrt{16 \cdot 2}$	$4\sqrt{2}$
$\sqrt{48}$	$\sqrt{16 \cdot 3}$	$4\sqrt{3}$
$\sqrt{75}$	$\sqrt{25 \cdot 3}$	$5\sqrt{3}$

Szukaj NAJWIĘKSZEGO kwadratu

Uwaga: szukaj największego kwadratu. $\sqrt{48} = \sqrt{4 \cdot 12} = 2\sqrt{12}$ jest poprawne, ale niedokończone — pod pierwiastkiem wciąż siedzi kwadrat, czwórka. Egzamin oczekuje $4\sqrt{3}$ .

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

4

9

16

25

36

49

64

81

100

Kwadraty do stu — to ich szukasz pod pierwiastkiem, zaczynając od największego

Ta sama droga w drugą stronę

Działa to też w drugą stronę (włączanie pod pierwiastek): $3\sqrt{2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{18}$ — przyda się przy porównywaniu liczb w następnej lekcji.

Typowe polecenie egzaminacyjne: „Liczba $\sqrt{48}$ jest równa...” z odpowiedziami $4\sqrt{3}$ , $4\sqrt{12}$ , $16\sqrt{3}$ — teraz już wiesz, którą wybrać.

Upraszczamy sumę pierwiastków

1
Zadanie: oblicz wartość wyrażenia. Uwaga — pod pierwiastkami stoją różne liczby, więc NIE wolno ich po prostu dodać.
$\sqrt{50} + \sqrt{18}$
2
Krok pierwszy: upraszczamy pierwszy pierwiastek. Największy kwadrat w 50 to 25.
$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$
3
Krok drugi: to samo z drugim. Największy kwadrat w 18 to 9.
$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$
4
Krok trzeci: teraz oba składniki mają ten sam pierwiastek, więc dodajemy je jak wyrazy podobne — pięć czegoś plus trzy czegoś to osiem czegoś.
$5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$
5
Kontrola przybliżeniem: pierwiastek z 2 to około 1,41. Osiem razy 1,41 to 11,28. A z kalkulatora: pierwiastek z 50 to około 7,07, z 18 to 4,24 — suma 11,31. Pasuje.
$8\sqrt{2} \approx 11{,}3 \; \checkmark$
Wskazówka
Dodawać wolno dopiero wtedy, gdy pod pierwiastkami stoi TA SAMA liczba. Dlatego najpierw upraszczam, potem dodaję.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Liczba $\sqrt{48}$ jest równa $a\sqrt{3}$ . Podaj $a$ .

\sqrt{48} = a\sqrt{3}

Pułapka! Pierwiastek z sumy to nie suma pierwiastków

Wzór $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ działa tylko dla mnożenia i dzielenia. Uczniowie masowo przenoszą go na dodawanie:

Źle: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$

Dobrze: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Najpierw licz to, co pod pierwiastkiem, dopiero potem pierwiastkuj. Siedem i pięć to nie drobna różnica — to dwa różne wyniki, a dystraktor „7” czeka na egzaminie w gotowych odpowiedziach.

Trzy wersje tego samego błędu

Najczęstsze wersje tej pomyłki wyglądają tak — po lewej to, co uczeń pisze odruchowo, po prawej rachunek poprawny.

Wyrażenie	Błędnie	Poprawnie
$\sqrt{9+16}$	$3+4=7$	$\sqrt{25}=5$
$\sqrt{100-36}$	$10-6=4$	$\sqrt{64}=8$
$\sqrt{4+4}$	$2+2=4$	$\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx 2{,}83$

Druga pułapka: kwadrat obejmuje oba czynniki

Kwadrat iloczynu obejmuje oba czynniki. Wyrażenie $\left(2\sqrt{3}\right)^2$ to $4 \cdot 3 = 12$ , a nie $2 \cdot 3 = 6$ (zapomniany kwadrat dwójki) ani $4\sqrt{3}$ (zapomniany kwadrat pierwiastka).

Trzecia pułapka: dodajemy tylko liczby przed pierwiastkiem

Przy dodawaniu wyrażeń typu $5\sqrt{2} + 3\sqrt{2}$ dodajemy tylko liczby przed pierwiastkami: wynik to $8\sqrt{2}$ , a nie $8\sqrt{4}$ ani $8 \cdot 2$ . Pierwiastek zachowuje się jak $x$ w wyrażeniu $5x + 3x = 8x$ .

Wyrażenie jak z egzaminu

1
Zadanie: oblicz wartość wyrażenia łączącego potęgi i pierwiastki.
$\left(2\sqrt{5}\right)^2 - \sqrt{3^4}$
2
Pierwszy składnik: kwadrat obejmuje i dwójkę, i pierwiastek. Kwadrat pierwiastka z pięciu to po prostu pięć.
$\left(2\sqrt{5}\right)^2 = 4 \cdot 5 = 20$
3
Drugi składnik: najpierw potęga pod pierwiastkiem, potem pierwiastek. Można też od razu: pierwiastek z trzy do czwartej to trzy do kwadratu.
$\sqrt{3^4} = \sqrt{81} = 9$
4
Odejmujemy.
$20 - 9 = 11$
5
Jeszcze jeden typ, częsty w zadaniach: iloczyn dwóch pierwiastków. Łączymy je pod jednym pierwiastkiem i szukamy kwadratu.
$\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$
Wskazówka
Dwa brzydkie pierwiastki dały równą czwórkę — tak właśnie działa wzór na mnożenie. Egzamin uwielbia takie pary.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Oblicz $\left(3\sqrt{2}\right)^2$ .

\left(3\sqrt{2}\right)^2

Ściąga do zapamiętania

Potęgi i pierwiastki razem — cztery chwyty i jedna pułapka?

• Kasowanie: $(\sqrt{a})^2 = a$ oraz $\sqrt{a^2} = a$ ; wyższe potęgi rozbijaj na kwadraty — $\sqrt{2^6} = 2^3 = 8$
• Wyłączanie czynnika: rozłóż liczbę na największy kwadrat razy resztę — $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ , $\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$
• Kwadrat iloczynu obejmuje oba czynniki: $(2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$
• Dodawać wolno tylko przy tym samym pierwiastku: $5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ , tak jak $5x + 3x$
• Największa pułapka: $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ , a nie $3 + 4 = 7$ — pierwiastek z sumy to nie suma pierwiastków

Pierwiastek i potęga znoszą się nawzajem

Iloczyn, iloraz i pierwiastki sześcienne

Wyższe potęgi rozbijamy na kwadraty

Wyłączanie czynnika przed pierwiastek

Sześć rozkładów, które wracają najczęściej

Szukaj NAJWIĘKSZEGO kwadratu

Ta sama droga w drugą stronę

Upraszczamy sumę pierwiastków

Pułapka! Pierwiastek z sumy to nie suma pierwiastków

Trzy wersje tego samego błędu

Druga pułapka: kwadrat obejmuje oba czynniki

Trzecia pułapka: dodajemy tylko liczby przed pierwiastkiem

Wyrażenie jak z egzaminu

Ściąga do zapamiętania

Sprawdź się!