Prawdopodobieństwo w zadaniach egzaminacyjnych

1. 1

   Obliczamy prawdopodobieństwo tego, że wylosowana kula NIE będzie żółta. Można wprost — kul niebędących żółtymi jest $20 - 4 = 16$.

   $$P = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$$
2. 2

   Albo przez zdarzenie przeciwne: od jedynki odejmujemy prawdopodobieństwo wylosowania żółtej.

   $$1 - \frac{4}{20} = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$$
3. 3

   Ten sam wynik dwiema drogami — to najlepszy sposób sprawdzenia się na egzaminie.

   $$\frac{4}{5} = \frac{4}{5} \; \checkmark$$

Wszystkie 3 kroków odsłonięte.

1. 1

   Liczymy prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej lub niebieskiej. Sprzyjających jest $5 + 3 = 8$.

   $$P = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$$
2. 2

   Skąd to dodawanie? Wypisz sprzyjające kule: 5 czerwonych i 3 niebieskie to 8 różnych kul, bo żadna nie jest jednocześnie czerwona i niebieska — nic nie liczymy dwa razy.

   $$5 + 3 = 8$$
3. 3

   Słowo „lub” przy jednym losowaniu oznacza więc, że dodajemy wyniki sprzyjające — obie grupy trafiają do licznika, mianownik zostaje bez zmian.

   $$\frac{5}{20} + \frac{3}{20} = \frac{8}{20}$$

Wszystkie 3 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie (typ egzaminacyjny): w pudełku jest 15 kartek z liczbami od 1 do 15. Losujemy jedną kartkę. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wylosujemy kartkę z liczbą pierwszą.

   $$1, 2, 3, \ldots, 15$$
2. 2

   Krok pierwszy: mianownik. Kartek jest piętnaście.

   $$15 \text{ wynikow}$$
3. 3

   Krok drugi: wypisujemy liczby pierwsze, czyli te, które mają dokładnie dwa dzielniki.

   $$2, 3, 5, 7, 11, 13$$
4. 4

   Uwaga na pułapkę: 1 NIE jest liczbą pierwszą (ma tylko jeden dzielnik), a 9 to $3 \cdot 3$, więc też nie. Sprzyjających wyników jest sześć.

   $$6 \text{ liczb pierwszych}$$
5. 5

   Krok trzeci: ułamek i skracanie przez 3.

   $$P = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$$
6. 6

   Krok czwarty: kontrola. Wynik leży między 0 a 1, a liczb pierwszych jest mniej niż połowa — dwie piąte pasuje.

   $$0 < \frac{2}{5} < 1 \; \checkmark$$
7. 7

   Bonus: prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba NIE jest pierwsza, to zdarzenie przeciwne.

   $$1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$$

Wszystkie 7 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie (typ egzaminacyjny, na 2 punkty): w worku są 3 kule czerwone i 9 zielonych. Ile kul czerwonych trzeba dołożyć, aby prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej wyniosło $\frac{1}{2}$?

   $$3 \text{ czerw.}, \; 9 \text{ ziel.}$$

   Jak myślisz, ile wyjdzie?

   A3B6C9

2. 2

   Krok pierwszy: oznaczamy niewiadomą. Niech $x$ to liczba dokładanych kul czerwonych.

   $$x - \text{dolozone czerwone}$$
3. 3

   Krok drugi: po dołożeniu czerwonych będzie $3 + x$, a wszystkich kul $12 + x$. Uwaga — dokładane kule zmieniają OBA składniki ułamka!

   $$\frac{3 + x}{12 + x}$$
4. 4

   Krok trzeci: zapisujemy równanie zgodne z warunkiem zadania.

   $$\frac{3 + x}{12 + x} = \frac{1}{2}$$
5. 5

   Mnożymy na krzyż i rozwiązujemy.

   $$2(3 + x) = 12 + x$$
6. 6

   Rozwijamy nawias i porządkujemy.

   $$6 + 2x = 12 + x \Rightarrow x = 6$$
7. 7

   Sprawdzenie — najważniejszy krok. Po dołożeniu 6 czerwonych mamy 9 czerwonych i 9 zielonych, czyli 18 kul.

   $$P = \frac{9}{18} = \frac{1}{2} \; \checkmark$$
8. 8

   Odpowiedź: trzeba dołożyć 6 kul czerwonych. Zwróć uwagę na naturalny sens wyniku: kul obu kolorów ma być po tyle samo, a zielonych jest 9 — więc czerwonych też musi być 9.

   $$x = 6$$

Wszystkie 8 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie: z cyfr 1, 2, 3 układamy wszystkie liczby dwucyfrowe o RÓŻNYCH cyfrach i zapisujemy każdą na osobnej kartce. Losujemy jedną kartkę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy liczbę parzystą?

   $$\text{cyfry: } 1, 2, 3$$
2. 2

   Krok pierwszy: ile jest takich liczb? Reguła mnożenia — cyfra dziesiątek na 3 sposoby, cyfra jedności na 2 (jedna cyfra już zajęta).

   $$3 \cdot 2 = 6$$
3. 3

   Sprawdźmy to wprost, wypisując wszystkie liczby.

   $$12, 13, 21, 23, 31, 32$$
4. 4

   Faktycznie sześć — mianownik gotowy. Krok drugi: które z nich są parzyste? Te, które kończą się cyfrą 2.

   $$12, 32 \Rightarrow 2$$
5. 5

   Krok trzeci: ułamek i skracanie przez 2.

   $$P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$
6. 6

   Kontrola: parzysta jest co trzecia z wypisanych liczb — jedna trzecia się zgadza.

   $$\frac{1}{3} \; \checkmark$$
7. 7

   Ten sam schemat, inne pytanie: prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest większa od 25. Z listy większe od 25 są 31 i 32.

   $$P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

Wszystkie 7 kroków odsłonięte.