Wielokąty foremne — kąt środkowy i okręgi

około 12 minut

W tej lekcji1/15

Cześć! Wielokąty foremne znasz z klasy 6 — równe boki, równe kąty, plaster miodu. Ale w klasie 8 patrzymy na nie głębiej: dlaczego sześciokąt foremny rozpada się na sześć trójkątów równobocznych? Jaki okrąg da się w niego wpisać, a jaki na nim opisać? I jak policzyć jego pole, mając tylko bok? Na egzaminie sześciokąt foremny to stały bywalec — po tej lekcji będzie Twoim sprzymierzeńcem.

Przypomnienie: czym jest wielokąt foremny

Wielokąt foremny ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe. Jego kąt wewnętrzny liczysz ze wzoru:

n = 3

n = 4

n = 5

n = 6

Wielokąty foremne: równe boki i równe kąty

$\frac{(n-2) \cdot 180°}{n}$

Wielokąt foremny	Kąt wewnętrzny	Kąt środkowy
trójkąt równoboczny	$60°$	$120°$
kwadrat	$90°$	$90°$
pięciokąt	$108°$	$72°$
sześciokąt	$120°$	$60°$
ośmiokąt	$135°$	$45°$
dwunastokąt	$150°$	$30°$

Nowy bohater: kąt środkowy

Nowość to trzecia kolumna. Połącz środek wielokąta foremnego z wszystkimi wierzchołkami — figura rozpadnie się na $n$ jednakowych trójkątów. Kąt każdego z nich przy środku figury to kąt środkowy:

Kąt środkowy sześciokąta foremnego: 360° podzielone na 6 równych części

$\text{kat srodkowy} = \frac{360°}{n}$

bo pełny obrót wokół środka, czyli $360°$ , dzieli się równo między $n$ trójkątów.

Uważaj: kąt wewnętrzny i kąt środkowy to dwie różne wielkości — w tabeli widać, że zgadzają się tylko dla kwadratu.

Sześciokąt foremny to sześć trójkątów równobocznych

Podziel sześciokąt foremny odcinkami ze środka do wierzchołków. Powstaje sześć trójkątów i każdy z nich jest równoboczny. Dlaczego?

- kąt przy środku ma $360° : 6 = 60°$ ,
- dwa ramiona trójkąta to odcinki od środka do wierzchołków — są równe (taka sama odległość środka od każdego wierzchołka),
- trójkąt równoramienny o kącie $60°$ między ramionami ma pozostałe kąty po $(180° - 60°) : 2 = 60°$ , więc wszystkie kąty równe — jest równoboczny.

Trzy złote fakty egzaminacyjne

Skoro trójkąty są równoboczne, ich ramiona są równe bokowi sześciokąta. Stąd trzy złote fakty egzaminacyjne o sześciokącie foremnym o boku $a$ :

Sześć równych boków a, przekątna AD przez środek ma 2a

Wielkość	Ile wynosi
odległość środka od wierzchołka	$a$
promień okręgu opisanego	$a$
najdłuższa przekątna (przez środek)	$2a$

Najdłuższa przekątna składa się z dwóch takich odcinków, stąd $2a$ .

Okręgi i symetrie wielokąta foremnego

Każdy wielokąt foremny współpracuje z dwoma okręgami o wspólnym środku:

Osie i środek symetrii

Wielokąty foremne są też rekordzistami symetrii (to ukłon w stronę działu o symetriach):

5 osi

6 osi

Jedna z osi symetrii; naprzeciw wierzchołka pięciokąta leży bok

- wielokąt foremny o $n$ bokach ma dokładnie $n$ osi symetrii,
- środek symetrii ma tylko wtedy, gdy $n$ jest parzyste.

Kwadrat: 4 osie i środek symetrii. Pięciokąt foremny: 5 osi, ale środka symetrii brak — obrócony o $180°$ nie nakłada się na siebie, bo naprzeciw wierzchołka leży bok. Sześciokąt: 6 osi i środek symetrii.

Pole sześciokąta foremnego o boku 6 cm

1
Zadanie: oblicz pole sześciokąta foremnego o boku 6 cm. Plan: pole jednego trójkąta równobocznego razy sześć.
$a = 6 \text{ cm}$
2
Najpierw wysokość trójkąta równobocznego o boku 6. Wysokość dzieli go na dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnej 3 i przeciwprostokątnej 6 — używamy twierdzenia Pitagorasa.
$h^2 + 3^2 = 6^2$
3
Liczymy: h kwadrat to 36 minus 9, czyli 27. Wyciągamy pierwiastek i upraszczamy go, wyłączając czynnik przed znak pierwiastka.
$h = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \text{ cm}$
4
To zgadza się z ogólnym wzorem na wysokość trójkąta równobocznego, który znasz z działu o pierwiastkach.
$h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$
5
Pole jednego trójkąta równobocznego: połowa podstawy razy wysokość.
$P_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3} \text{ cm}^2$
6
Sześciokąt to sześć takich trójkątów, więc mnożymy przez 6.
$P = 6 \cdot 9\sqrt{3} = 54\sqrt{3} \text{ cm}^2$
7
Wynik zostawiamy z pierwiastkiem — na egzaminie to pełnoprawna, najdokładniejsza postać. Dla wyobraźni: skoro pierwiastek z 3 to około 1,73, pole wynosi około 93,5 cm kwadratowego.
$54\sqrt{3} \approx 93{,}5 \text{ cm}^2$
Wskazówka
Sześciokąt = 6 trójkątów równobocznych. Ten podział załatwia większość zadań egzaminacyjnych.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Ile stopni ma kąt środkowy ośmiokąta foremnego?

\frac{360°}{8}

Pułapka! Sześciokątowe skróty użyte w złej figurze

Błąd pierwszy: „promień okręgu opisanego zawsze równa się bokowi”. To prawda wyłącznie dla sześciokąta foremnego. W kwadracie o boku $a$ promień okręgu opisanego to połowa przekątnej, czyli $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ — więcej niż połowa boku, ale mniej niż bok. Skrót $r = a$ zastosowany do innej figury psuje całe zadanie.

Pułapka! Kąt wewnętrzny wzięty za środkowy

Błąd drugi: mylenie kąta wewnętrznego z kątem środkowym. Sześciokąt foremny: wewnętrzny $120°$ , środkowy $60°$ . Ośmiokąt: wewnętrzny $135°$ , środkowy $45°$ . Zapamiętaj kontrolę: te dwie liczby (poza kwadratem) są różne, a środkowy jest zawsze mniejszy od wewnętrznego dla figur od pięciokąta wzwyż.

Pułapka! Zła przekątna i pole liczone jako 6a²

Błąd trzeci: „najdłuższa przekątna sześciokąta to $a\sqrt{3}$ ”. Sześciokąt foremny ma przekątne dwóch długości: krótsze (łączące wierzchołki przez jeden) mają $a\sqrt{3}$ , a najdłuższe (przez środek) mają $2a$ .

Błąd czwarty: pole sześciokąta liczone jako $6a^2$ . Sześć trójkątów to nie sześć kwadratów! Pole jednego trójkąta równobocznego to $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ , więc pole sześciokąta foremnego wynosi $6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$ .

Zadanie egzaminacyjne: sześciokąt od obwodu do pola

1
Zadanie: obwód sześciokąta foremnego wynosi 24 cm. Oblicz długość jego najdłuższej przekątnej, promień okręgu opisanego i pole.
$\text{Obw} = 24 \text{ cm}$
2
Krok pierwszy: bok. Sześciokąt foremny ma sześć równych boków, więc dzielimy obwód przez 6.
$a = 24 : 6 = 4 \text{ cm}$
3
Krok drugi: najdłuższa przekątna przechodzi przez środek i składa się z dwóch odcinków równych bokowi.
$d = 2a = 8 \text{ cm}$
4
Krok trzeci: promień okręgu opisanego to odległość środka od wierzchołka — w sześciokącie foremnym równa bokowi.
$R = a = 4 \text{ cm}$
5
Krok czwarty: pole. Jeden trójkąt równoboczny o boku 4 ma pole a kwadrat razy pierwiastek z 3 przez 4.
$P_{\triangle} = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3} \text{ cm}^2$
6
Mnożymy przez sześć trójkątów.
$P = 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \text{ cm}^2$
7
Kontrola sensu: pierwiastek z 3 to około 1,73, więc pole to około 41,5 cm kwadratowego. Cały sześciokąt mieści się w kwadracie o boku 8 cm (tyle ma jego najdłuższa przekątna), a taki kwadrat ma pole 64 — nasz wynik jest mniejszy, czyli wiarygodny.
$24\sqrt{3} \approx 41{,}5 \text{ cm}^2$
Wskazówka
Obwód daje bok, bok daje wszystko inne. Tak działa figura foremna.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Obwód sześciokąta foremnego wynosi 42 cm. Jaką długość (w cm) ma jego najdłuższa przekątna?

a = \frac{42}{6}, \quad d = 2a

Ściąga do zapamiętania

Wielokąt foremny — kąt wewnętrzny, kąt środkowy i sztuczki sześciokąta?

• Kąt wewnętrzny: $\frac{(n-2) \cdot 180°}{n}$ — pięciokąt $108°$ , sześciokąt $120°$ , ośmiokąt $135°$
• Kąt środkowy: $\frac{360°}{n}$ — sześciokąt $60°$ , ośmiokąt $45°$ ; to inna wielkość niż kąt wewnętrzny
• Sześciokąt foremny o boku $a$ : sześć trójkątów równobocznych, promień okręgu opisanego $= a$ , najdłuższa przekątna $= 2a$ , pole $= 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
• Te skróty działają tylko w sześciokącie
• Symetrie: $n$ osi symetrii, a środek symetrii tylko przy parzystym $n$

Sprawdź się!

Jeden kąt wewnętrzny dziesięciokąta foremnego ma miarę:

Kąt środkowy sześciokąta foremnego (kąt między odcinkami łączącymi środek z sąsiednimi wierzchołkami) ma miarę:

Promień okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku 5 cm wynosi:

Najdłuższa przekątna sześciokąta foremnego o boku 9 cm ma długość:

Ile osi symetrii ma pięciokąt foremny i czy ma środek symetrii?

Pole sześciokąta foremnego o boku 2 cm wynosi:

Które zdanie o wielokątach foremnych jest fałszywe?

Następny temat

Symetralna odcinka i dwusieczna kąta