Zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne

około 12 minut

W tej lekcji1/16

Hej! Na treningu trener zapisał w notesie, że przebiegłem dystans o trzy czwarte sekundy szybciej niż tydzień temu. A stoper pokazał $0{,}75$ s. Kolega mówi, że to dwa różne wyniki — ale to jest dokładnie ta sama liczba, tylko w dwóch strojach! Dziś nauczę Cię przebierać ułamki zwykłe w dziesiętne.

Metoda 1: rozszerz do dziesiątek, setek albo tysięcy

Ułamek dziesiętny umiemy zapisać wtedy, gdy w mianowniku stoi 10, 100 albo 1000. Bo $\frac{4}{10} = 0{,}4$ , $\frac{75}{100} = 0{,}75$ , a $\frac{125}{1000} = 0{,}125$ .

Dwa rozszerzenia do okrągłego mianownika

1
Piątkę mnożymy przez 2 i dostajemy dziesiątki, czyli jedno miejsce po przecinku.
$\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{4}{10} = 0{,}4$
2
Czwórkę mnożymy przez 25 i dostajemy setki, czyli dwa miejsca po przecinku.
$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100} = 0{,}75$

Wszystkie kroki za Tobą!

Dwa paski o tym samym polu

Spójrz na paski poniżej: pasek podzielony na 5 części z dwiema zamalowanymi i pasek podzielony na 10 części z czterema zamalowanymi mają identyczne pole. To ta sama liczba, a jej dziesiętne imię to $0{,}4$ .

2/5

4/10 = 0,4

Pięć zamian, które warto znać na pamięć

Te zamiany warto po prostu znać na pamięć — wracają w zadaniach cały czas:

1/2 = 0,5

1/4 = 0,25

3/4 = 0,75

1/5 = 0,2

1/10 = 0,1

Ułamek	Po rozszerzeniu	Dziesiętnie
$\frac{1}{2}$	$\frac{5}{10}$	$0{,}5$
$\frac{1}{4}$	$\frac{25}{100}$	$0{,}25$
$\frac{3}{4}$	$\frac{75}{100}$	$0{,}75$
$\frac{1}{5}$	$\frac{2}{10}$	$0{,}2$
$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{10}$	$0{,}1$

Metoda 2: podziel licznik przez mianownik

Czasem mianownika nie da się rozszerzyć do 10, 100 ani 1000. Wtedy wracamy do tego, czym ułamek jest od samego początku: kreska ułamkowa to znak dzielenia.

3/8 = 3 : 8 = 0,375

$\frac{3}{8} = 3 : 8 = 0{,}375$

Dzielimy licznik przez mianownik — pisemnie, dopisując po przecinku zera. Ta metoda działa zawsze, więc jest Twoim kołem ratunkowym, gdy metoda 1 nie chce zadziałać.

Sprawdzenie jest łatwe: $0{,}375 \cdot 8 = 3$ . Zgadza się!

Które ułamki dadzą się zapisać do końca

Zerknij na mianowniki 10, 100 i 1000. Każdy z nich rozkłada się wyłącznie na dwójki i piątki: $10 = 2 \cdot 5$ , $100 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5$ . Dlatego ułamek da się zamienić na skończony zapis dziesiętny wtedy, gdy jego mianownik po skróceniu rozkłada się tylko na dwójki i piątki.

Ułamek	Mianownik	Skończony zapis?
$\frac{3}{8}$	$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2$	tak, $0{,}375$
$\frac{7}{20}$	$20 = 2 \cdot 2 \cdot 5$	tak, $0{,}35$
$\frac{1}{3}$	$3$	nie, $0{,}333\ldots$
$\frac{1}{6}$	$6 = 2 \cdot 3$	nie, $0{,}1666\ldots$

Trójka w mianowniku i zapis bez końca

Spróbuj podzielić $1 : 3$ — trójki po przecinku sypią się bez końca i nigdy się nie zatrzymają. Nie musisz teraz umieć tego udowodnić. Wystarczy, że zauważysz regułę: trójka albo siódemka w mianowniku to znak, że skończonego zapisu nie będzie.

Zamieniamy trzy czwarte metodą rozszerzania

1
Zadanie: zapisz trzy czwarte w postaci dziesiętnej.
$\frac{3}{4} = \square$
2
Sprawdzamy mianownik. Czy z 4 zrobimy 10? Nie ma takiej liczby całkowitej. A 100? Tak — cztery razy dwadzieścia pięć.
$4 \cdot 25 = 100$
3
Licznik mnożymy przez TĘ SAMĄ liczbę: trzy razy dwadzieścia pięć to siedemdziesiąt pięć.
$3 \cdot 25 = 75$
4
Mamy ułamek o mianowniku 100, czyli części setne. Setne to dwa miejsca po przecinku.
$\frac{3}{4} = \frac{75}{100}$
5
Wpisujemy licznik na dwa miejsca po przecinku i gotowe.
$\frac{75}{100} = 0{,}75$
6
Przeliczamy dla pewności: siedemdziesiąt pięć setnych to trzy ćwiartki, bo jedna ćwiartka to 0,25, a trzy razy 0,25 daje 0,75. Pasuje!
$3 \cdot 0{,}25 = 0{,}75$
Wskazówka
Zawsze pytaj najpierw: przez ile pomnożyć mianownik, żeby wyszło 10, 100 albo 1000? Reszta jest prosta.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Rozszerz ułamek tak, żeby mianownik wynosił 10. Wpisz cały nowy ułamek — a potem od razu zobaczysz, jaka to liczba dziesiętna:

\frac{3}{5} = \frac{\square}{10}

Pułapka! Sklejanie cyfr zamiast dzielenia

Bardzo częsty błąd: uczeń patrzy na $\frac{1}{4}$ , widzi jedynkę i czwórkę, i skleja z nich liczbę — wychodzi $0{,}14$ albo $1{,}4$ . Cyfry się zgadzają, więc wygląda to niewinnie. Tylko że zamiana ułamka to dzielenie, a nie przepisywanie cyfr.

Kontrola sensu demaskuje sklejone cyfry

Włącz kontrolę sensu, a błąd sam się zdemaskuje:

- $\frac{1}{4}$ to ćwiartka — mniej niż pół, czyli mniej niż $0{,}5$ .
- $1{,}4$ jest większe od całości! Ćwiartka pizzy nie może być większa niż cała pizza. Odpada od razu.
- $0{,}14$ owszem jest małe, ale to czternaście setnych, czyli sporo mniej niż ćwiartka. Ćwiartka to dwadzieścia pięć setnych: $\frac{1}{4} = \frac{25}{100} = 0{,}25$ .

Gdzie powinna leżeć poprawna liczba

Tak samo $\frac{1}{2}$ to nie $0{,}12$ ani $1{,}2$ , tylko $\frac{5}{10} = 0{,}5$ .

Zanim zapiszesz wynik, zapytaj: czy moja liczba leży tam, gdzie powinna? Ułamek mniejszy od 1 zawsze daje zero przed przecinkiem. Ułamek mniejszy od połowy daje liczbę mniejszą od $0{,}5$ .

Gdy rozszerzanie zawodzi — dzielimy pisemnie

1
Zadanie: zapisz trzy ósme w postaci dziesiętnej.
$\frac{3}{8} = \square$
2
Najpierw próbujemy metody 1. Z 8 nie zrobimy ani 10, ani 100 — ale 8 razy 125 daje 1000, więc rozszerzanie jednak jest możliwe.
$8 \cdot 125 = 1000$
3
Mnożymy licznik przez tę samą liczbę: trzy razy sto dwadzieścia pięć to trzysta siedemdziesiąt pięć.
$\frac{3}{8} = \frac{375}{1000}$
4
Mianownik 1000 to części tysięczne, czyli trzy miejsca po przecinku.
$\frac{375}{1000} = 0{,}375$
5
Sprawdźmy teraz metodą 2, czyli dzieleniem. Dzielimy 3 przez 8, dopisując po przecinku zera. Trzydzieści dzielone przez osiem to trzy, reszta sześć.
$3{,}000 : 8 \to 0{,}3$
6
Bierzemy sześćdziesiąt. Sześćdziesiąt dzielone przez osiem to siedem, reszta cztery.
$0{,}37$
7
Bierzemy czterdzieści. Czterdzieści dzielone przez osiem to pięć, reszta zero — dzielenie się skończyło.
$3 : 8 = 0{,}375$
8
Obie metody dały ten sam wynik. Przeliczamy jeszcze raz na wszelki wypadek: 0,375 razy 8 to równo 3. Zgadza się!
$0{,}375 \cdot 8 = 3$
Wskazówka
Reszta zero oznacza koniec dzielenia i skończony zapis dziesiętny. Gdyby reszty wracały w kółko, jak przy $\frac{1}{3}$ , zapis byłby nieskończony.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Trudniejsze! Zamień ułamek $\frac{7}{20}$ na ułamek dziesiętny. Wynik wpisz z przecinkiem, na przykład w postaci 0,25:

\frac{7}{20} = \square

Ściąga do zapamiętania

Jak zamienić ułamek zwykły na dziesiętny?

METODA 1 (gdy się da): rozszerz ułamek do mianownika 10, 100 lub 1000, a licznik zapisz po przecinku — 3/4 = 75/100 = 0,75; 2/5 = 4/10 = 0,4. METODA 2 (zawsze działa): podziel licznik przez mianownik — 3/8 = 3 : 8 = 0,375. Skończony zapis dziesiętny dostaniesz wtedy, gdy skrócony mianownik rozkłada się tylko na dwójki i piątki; 1/3 = 0,333... nie ma końca. Na pamięć: 1/2 = 0,5; 1/4 = 0,25; 3/4 = 0,75; 1/5 = 0,2; 1/10 = 0,1. Nigdy nie sklejaj cyfr licznika i mianownika — 1/4 to nie 0,14 ani 1,4.

Sprawdź się!

Jak zapiszemy ułamek $\frac{3}{4}$ w postaci dziesiętnej?

Zamień ułamek $\frac{9}{25}$ na dziesiętny.

Rozszerz $\frac{1}{2}$ tak, żeby mianownik wynosił 10. Wpisz cały nowy ułamek.

Którego ułamka NIE da się zapisać skończonym ułamkiem dziesiętnym?

Kuba zapisał, że $\frac{1}{4} = 1{,}4$ . Jak najszybciej pokazać mu, że to niemożliwe?

Następny temat

Zamiana ułamków dziesiętnych na zwykłe