Zasada zachowania energii mechanicznej

około 15 minut

W tej lekcji1/14

Wagonik kolejki górskiej wjeżdża na sam szczyt i tam na moment staje w miejscu. Chwilę później pędzi u podstawy toru tak szybko, że aż wciska cię w fotel. Nikt go nie popchnął, żaden silnik go nie rozpędził — na zjeździe napęd jest wyłączony. Skąd więc wzięła się ta cała prędkość?

Zasada zachowania energii mechanicznej

Z poprzedniej lekcji pamiętasz energię mechaniczną — sumę energii potencjalnej $E_p = m \cdot g \cdot h$ i kinetycznej $E_k = \frac{m v^2}{2}$ , obu liczonych w dżulach (J):

$E_m = E_p + E_k$

Dziś robimy z niej narzędzie do liczenia: skoro suma się nie zmienia, to z samej wysokości wyliczysz prędkość — bez znajomości kształtu toru, działających sił i czasu zjazdu.

Najważniejsze zdanie tej lekcji

Najważniejsze zdanie tej lekcji — zasada zachowania energii mechanicznej:

Wagonik w dół, piłka w górę

Wagonik na szczycie ma dużo $E_p$ i zero $E_k$ , bo stoi. Gdy zjeżdża, wysokość maleje — więc maleje $E_p$ . Ale ta energia nigdzie nie przepada: co do dżula przechodzi w $E_k$ , czyli w prędkość. U podstawy toru $E_p$ jest już zerowa, a cała energia siedzi w ruchu.

Ep — potencjalna
Ek — kinetyczna

Zjazd wagonika: ile ubywa energii potencjalnej, dokładnie tyle przybywa kinetycznej

To działa też w drugą stronę. Piłka rzucona w górę zwalnia, bo jej $E_k$ zamienia się w $E_p$ . W najwyższym punkcie na moment się zatrzymuje — cała energia jest już potencjalna.

Zapamiętaj: suma $E_p + E_k$ jest stała, ale każdy ze składników z osobna cały czas się zmienia.

Liczymy prędkość wagonika u podstawy toru

1
Wagonik o masie 200 kg stoi na szczycie toru, 20 m nad ziemią. Zjeżdża bez napędu, tarcie pomijamy. Wypisujemy dane.
$m = 200\text{ kg},\quad h = 20\text{ m},\quad g = 10\text{ N/kg},\quad v_0 = 0$
2
Na szczycie wagonik stoi, więc jego energia kinetyczna wynosi 0 J. Cała energia mechaniczna jest w postaci potencjalnej — liczymy ją.
$E_p = 200\text{ kg} \cdot 10\text{ N/kg} \cdot 20\text{ m} = 40\,000\text{ J}$
3
U podstawy toru wysokość spada do zera, więc energia potencjalna też wynosi 0 J. Zgodnie z zasadą zachowania energii mechanicznej cała ta energia jest teraz kinetyczna.
$E_k = E_p = 40\,000\text{ J}$
4
Znamy energię kinetyczną i masę, więc ze wzoru Ek = m · v² / 2 wyliczamy prędkość. Na końcu wyciągamy pierwiastek.
$40\,000 = \frac{200 \cdot v^2}{2} = 100 \cdot v^2 \;\Rightarrow\; v^2 = 400 \;\Rightarrow\; v = 20\text{ m/s}$
Wskazówka
20 m/s, czyli 72 km/h — i to bez grama paliwa. Cała ta prędkość była schowana w wysokości.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Sanki z dzieckiem mają masę 20 kg i zjeżdżają ze zbocza o wysokości 5 m. Tarcie i opór powietrza pomijamy, na starcie sanki stoją. Ile wynosi ich prędkość u podstawy zbocza? Przyjmij g = 10 N/kg i podaj wynik w metrach na sekundę.

Bilans energii w kilku punktach toru

Prześledźmy kulkę o masie 2 kg, która zsuwa się z wysokości 5 m. Na starcie jej energia potencjalna wynosi $E_p = 2 \cdot 10 \cdot 5 = 100$ J, a kinetyczna 0 J. Energia mechaniczna to zatem 100 J — i tyle będzie przez cały zjazd.

100 J

50 J

0 J

Słupki na wykresie pokazują energię potencjalną w trzech punktach toru. Zwróć uwagę, że energia kinetyczna rośnie dokładnie odwrotnie — im niższy słupek, tym więcej energii ruchu:

- szczyt (h = 5 m): $E_p = 100$ J, $E_k = 0$ J, suma 100 J,
- połowa wysokości (h = 2,5 m): $E_p = 50$ J, $E_k = 50$ J, suma 100 J,
- dół (h = 0 m): $E_p = 0$ J, $E_k = 100$ J, suma 100 J.

Drugi wykres to lustrzane odbicie pierwszego

Gdyby dorysować drugi wykres — dla energii kinetycznej — jego słupki wyglądałyby jak lustrzane odbicie tych tutaj: 0 J, 50 J, 100 J. Razem w każdym punkcie zawsze wychodzi 100 J.

Dlatego przy takich zadaniach nie trzeba znać kształtu toru ani drogi, jaką przebyło ciało. Wystarczy różnica wysokości — reszta wynika z bilansu energii.

0 J

50 J

100 J

Pułapka! Energia nie ginie — zamienia się w ciepło

Najczęstszy błąd w całym temacie: uczeń widzi, że sanki na płaskim odcinku zwalniają i w końcu się zatrzymują, i stwierdza — energia zniknęła.

Brakujące dżule na konkretnych liczbach

Przykład z liczbami. Klocek ma na szczycie równi $E_p = 500$ J, a u podstawy zmierzona energia kinetyczna wynosi tylko $E_k = 400$ J:

- źle: brakujące 100 J zginęło,
- dobrze: brakujące 100 J zamieniło się w energię wewnętrzną, bo $500\text{ J} - 400\text{ J} = 100\text{ J}$ .

Dwa zdania, których nie wolno mylić

Dlatego trzeba rozróżnić dwa zdania:

- zasada zachowania energii obowiązuje zawsze — energii nigdy nie ubywa ani nie przybywa, zmienia tylko postać,
- energia mechaniczna ( $E_p + E_k$ ) jest stała tylko wtedy, gdy nie ma tarcia i oporu powietrza. Przy tarciu część energii mechanicznej odpływa do energii wewnętrznej i suma $E_p + E_k$ maleje.

W zadaniach zwykle czytasz zdanie: tarcie pomijamy. To sygnał, że wolno ci przyrównać energię potencjalną na starcie do energii kinetycznej u podstawy, czyli zapisać $E_p = E_k$ .

Wahadło — energia w kółko zmienia postać

1
Kulka wahadła o masie 1 kg jest odchylona na bok. W tym skrajnym położeniu wisi 0,2 m wyżej niż w najniższym punkcie. Puszczamy ją bez popychania, opory pomijamy.
$m = 1\text{ kg},\quad h = 0{,}2\text{ m},\quad g = 10\text{ N/kg}$
2
W skrajnym położeniu kulka na moment się zatrzymuje, zanim ruszy w dół. Prędkość wynosi 0, więc energia kinetyczna też jest zerowa — cała energia mechaniczna jest potencjalna.
$E_p = 1\text{ kg} \cdot 10\text{ N/kg} \cdot 0{,}2\text{ m} = 2\text{ J},\quad E_k = 0\text{ J}$
3
W najniższym punkcie toru wysokość wynosi 0, więc energia potencjalna znika. Cała energia mechaniczna jest teraz kinetyczna — tu kulka pędzi najszybciej.
$E_p = 0\text{ J},\quad E_k = 2\text{ J}$
4
Wyliczamy prędkość w najniższym punkcie ze wzoru na energię kinetyczną.
$2 = \frac{1 \cdot v^2}{2} \;\Rightarrow\; v^2 = 4 \;\Rightarrow\; v = 2\text{ m/s}$
5
Kulka mija najniższy punkt i zaczyna się wznosić po drugiej stronie. Teraz zamiana idzie w odwrotną stronę: energia kinetyczna wraca do postaci potencjalnej, więc kulka wznosi się dokładnie na te same 0,2 m.
$E_k = 2\text{ J} \;\rightarrow\; E_p = 2\text{ J} \;\Rightarrow\; h = 0{,}2\text{ m}$
Wskazówka
W idealnym świecie bez tarcia takie wahadło huśtałoby się bez końca. W prawdziwym powoli wytraca zasięg, bo opór powietrza zabiera energię mechaniczną i zamienia ją w ciepło.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Wagonik o masie 50 kg rusza z miejsca ze szczytu toru na wysokości 25 m. Tarcie pomijamy. Ile wynosi jego prędkość w punkcie położonym 5 m nad ziemią? Przyjmij g = 10 N/kg i podaj wynik w metrach na sekundę.

Ściąga do zapamiętania

Na czym polega zasada zachowania energii mechanicznej?

ENERGIA MECHANICZNA (Em) to suma energii potencjalnej i kinetycznej: Em = Ep + Ek. Jednostka: dżul (J). ZASADA ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ: gdy nie ma tarcia ani oporu powietrza, suma Ep + Ek jest stała — energia tylko zamienia się z jednej postaci w drugą. Przy zjeżdżaniu Ep maleje, a Ek rośnie o tyle samo; przy wznoszeniu odwrotnie. Schemat rozwiązywania: policz Ep = m · g · h na szczycie (g = 10 N/kg), przyrównaj do Ek = m · v² / 2 u podstawy, wylicz v² i wyciągnij pierwiastek. Przykład: m = 200 kg, h = 20 m, Ep = 40 000 J = Ek, stąd v² = 400 i v = 20 m/s. W punkcie pośrednim Ek to RÓŻNICA energii potencjalnych. UWAGA: gdy działa tarcie, energia mechaniczna maleje, ale energia NIE ginie — brakująca część zamienia się w energię wewnętrzną, czyli ciepło. Zasada zachowania energii obowiązuje zawsze.

Sprawdź się!

Kiedy energia mechaniczna ciała pozostaje stała?

Kulka o masie 2 kg spada swobodnie z wysokości 5 m, opory powietrza pomijamy. Wykres pokazuje oba składniki jej energii w czasie spadania. Co dzieje się z energią mechaniczną kulki?

Ep — potencjalna
Ek — kinetyczna

Energia kulki na kolejnych metrach spadania

Klocek o masie 2 kg zsuwa się bez tarcia z wysokości 5 m, zaczynając z prędkością 0. Ile wynosi jego prędkość u podstawy? Przyjmij g = 10 N/kg.

Sanki zjechały ze zbocza, przejechały kawałek po płaskim śniegu i zatrzymały się z powodu tarcia. Co stało się z ich energią?

Wózek miał na szczycie równi energię potencjalną 900 J, a u podstawy jego energia kinetyczna wynosi tylko 700 J. Ile energii zamieniło się w energię wewnętrzną wskutek tarcia?

Następny temat

Straty energii. Sprawność