Bartek policzył $6{,}3 \cdot 10$ i zapisał wynik jako 6,30. Co o tym powiesz?

Wynik jest błędny — 6,30 to wciąż 6,3, a powinno wyjść 63

Wynik jest błędny — powinno wyjść 630

Wynik jest błędny — powinno wyjść 0,63

Mnożenie i dzielenie dziesiętnych przez 10, 100, 1000 — matematyka klasa 5

Hej! Mam dla Ciebie działanie, które policzysz szybciej, niż zdążysz sięgnąć po kalkulator: $3{,}45 \cdot 100$ . Nie mnóż pisemnie. Wystarczy przesunąć przecinek o dwa miejsca w prawo i wychodzi $345$ . Cała lekcja to jeden ruch przecinka — trzeba tylko wiedzieć, w którą stronę i o ile.

Mnożymy — przecinek idzie w PRAWO

Mnożenie przez 10, 100 czy 1000 powiększa liczbę. A skoro liczba ma urosnąć, przecinek wędruje w prawo — o tyle miejsc, ile zer ma mnożnik.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

2,5

25

Mnożenie przez 10 przesuwa liczbę o jedno miejsce

Mnożnik	Ile zer	Przecinek w prawo o
10	1	1 miejsce
100	2	2 miejsca
1000	3	3 miejsca

Zobacz na jednej liczbie, jak to wygląda w praktyce:

- $3{,}45 \cdot 10 = 34{,}5$
- $3{,}45 \cdot 100 = 345$
- $3{,}45 \cdot 1000 = 3450$

Przy ostatnim działaniu przecinek miał przeskoczyć trzy miejsca, a po przecinku stały tylko dwie cyfry. W takiej sytuacji dopisujemy zero, żeby było gdzie skakać: $3{,}450$ i dalej w prawo — wychodzi $3450$ .

Skąd ten ruch? Naprawdę przesuwają się cyfry

Weź $3{,}45$ : trójka to jedności, czwórka dziesiąte, piątka setne. Pomnożyć przez 10 znaczy: każda cyfra staje się 10 razy więcej warta, więc awansuje o jedno miejsce w lewo — jedności na dziesiątki, dziesiąte na jedności, setne na dziesiąte.

	dziesiątki	jedności	dziesiąte	setne
$3{,}45$	—	3	4	5
$3{,}45 \cdot 10 = 34{,}5$	3	4	5	—

Przecinek stoi, maszerują cyfry

1
Przecinek przez cały czas stoi w tym samym miejscu: między jednościami a dziesiątymi. To cyfry przemaszerowały obok niego — a w zapisie wygląda to tak, jakby skoczył przecinek.
$3{,}45 \cdot 10 = 34{,}5$
2
Przy mnożeniu przez 100 każda cyfra awansuje o dwa miejsca, a przy 1000 o trzy.
$3{,}45 \cdot 100 = 345$
3
Przy dzieleniu cyfry spadają o miejsce w dół — i stąd bierze się ruch w lewo.
$3{,}45 : 10 = 0{,}345$

Wszystkie kroki za Tobą!

Dzielimy — przecinek idzie w LEWO

Dzielenie działa dokładnie odwrotnie. Liczba maleje, więc przecinek wędruje w lewo — znowu o tyle miejsc, ile zer ma dzielnik.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

25

2,5

Dzielenie przez 10 cofa liczbę o jedno miejsce — ten sam skok co przy mnożeniu, tylko w przeciwną stronę

- $56{,}3 : 10 = 5{,}63$
- $56{,}3 : 100 = 0{,}563$
- $56{,}3 : 1000 = 0{,}0563$

Gdy przecinek dochodzi do początku liczby, a wciąż ma się przesuwać, dopisujemy zera z przodu i stawiamy zero przed przecinkiem:

$8 : 100 = 0{,}08$

Ósemka to tak naprawdę $8{,}0$ . Przecinek cofa się o dwa miejsca, po drodze trzeba dopisać brakujące zero i wychodzi $0{,}08$ .

Liczba całkowita też ma przecinek — po prostu go nie zapisujemy, bo stoi na samym końcu. Liczba $450$ to $450{,}0$ , więc $450 : 1000 = 0{,}45$ .

Krok po kroku: 2,7 razy 1000

1
Zadanie: pomnóż 2,7 przez 1000. Nie mnożymy pisemnie — liczymy zera w mnożniku.
$2{,}7 \cdot 1000$
2
Tysiąc ma trzy zera, więc przecinek przesuwamy o trzy miejsca. Mnożymy, czyli liczba rośnie — idziemy w prawo.
$1000 \to \text{trzy zera} \to \text{trzy miejsca w prawo}$
3
Pierwszy skok: przecinek przeskakuje siódemkę.
$2{,}7 \to 27$
4
Zostały jeszcze dwa skoki, a cyfr już nie ma. Dopisujemy dwa zera — mają dokładnie tę rolę, żeby przecinek miał gdzie skakać.
$27 \to 270 \to 2700$
5
Wynik to 2700. Kontrola zdrowego rozsądku: mnożyliśmy przez tysiąc, więc wynik musi być dużo większy od 2,7. Jest.
$2{,}7 \cdot 1000 = 2700$
Wskazówka
Policz zera, ustal stronę, przesuń przecinek. Trzy sekundy roboty.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Oblicz: $0{,}64 \cdot 100$ . Wpisz wynik.

0{,}64 \cdot 100

Pułapka! Dopisywanie zer zamiast przesuwania przecinka

Przy liczbach całkowitych mnożenie przez 10 wyglądało tak: dopisz zero na końcu. $7 \cdot 10 = 70$ i już.

Przy ułamkach dziesiętnych ten nawyk prowadzi prosto na manowce. Uczeń liczy $2{,}5 \cdot 10$ i dopisuje zero:

$2{,}50$ — a to przecież wciąż 2,5! Zero na końcu ułamka niczego nie zmienia, tak samo jak $2{,}5$ i $2{,}50$ to ta sama liczba.

Poprawnie przesuwamy przecinek: $2{,}5 \cdot 10 = 25$ .

Działanie	Błędnie	Poprawnie
$2{,}5 \cdot 10$	2,50	25
$0{,}3 \cdot 100$	0,300	30

Mylenie strony przesunięcia

Drugi częsty błąd to mylenie strony. Ratunek jest prosty i zawsze pod ręką: zapytaj siebie, czy wynik ma być większy czy mniejszy od liczby wyjściowej.

Po co to w życiu: zamiana jednostek

1
Ta umiejętność przydaje się głównie przy jednostkach, bo one też chodzą po dziesiątkach, setkach i tysiącach. Zadanie: ile metrów to 3,4 kilometra?
$3{,}4 \text{ km} = ? \text{ m}$
Jak myślisz, ile wyjdzie?
2
W kilometrze jest 1000 metrów, a metry są mniejsze od kilometrów, więc będzie ich WIĘCEJ. Mnożymy przez 1000, czyli trzy miejsca w prawo.
$3{,}4 \cdot 1000 = 3400$
3
Trzy i cztery dziesiąte kilometra to 3400 metrów. Teraz w drugą stronę: ile kilogramów waży 250 gramów sera?
$250 \text{ g} = ? \text{ kg}$
4
Kilogram to 1000 gramów, a kilogramy są większe od gramów, więc liczba będzie MNIEJSZA. Dzielimy przez 1000, czyli trzy miejsca w lewo.
$250 : 1000 = 0{,}25$
5
Ćwierć kilograma sera. Wynik brzmi sensownie, bo 250 gramów to faktycznie jedna czwarta kilograma.
$250 \text{ g} = 0{,}25 \text{ kg}$
Wskazówka
Mniejsza jednostka to większa liczba i odwrotnie. Ta kontrola ratuje przed przesunięciem w złą stronę.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Oblicz: $7 : 1000$ . Wpisz, ile miejsc po przecinku ma wynik.

7 : 1000

Ściąga do zapamiętania

W którą stronę i o ile skacze przecinek przy mnożeniu i dzieleniu przez $10$ , $100$ , $1000$ ?

Przesuwasz przecinek o tyle miejsc, ile zer ma liczba. Mnożenie — w prawo, bo liczba rośnie. Dzielenie — w lewo, bo maleje.
• Dlaczego? Przy mnożeniu przez 10 każda cyfra awansuje o jedno miejsce (setne na dziesiąte, dziesiąte na jedności…), a przecinek stoi — tylko w zapisie wygląda to jak jego skok.
• $3{,}45 \cdot 10 = 34{,}5$ , $3{,}45 \cdot 100 = 345$ , $3{,}45 \cdot 1000 = 3450$ .
• $56{,}3 : 10 = 5{,}63$ , $56{,}3 : 100 = 0{,}563$ , $56{,}3 : 1000 = 0{,}0563$ .
• Gdy cyfr brakuje, dopisujesz zera, żeby przecinek miał gdzie skakać: $8 : 100 = 0{,}08$ .
• Liczba całkowita też ma przecinek, tylko niezapisany: $450$ to $450{,}0$ , więc $450 : 1000 = 0{,}45$ .
• Pułapka: dopisanie zera zamiast ruchu przecinka. $2{,}5 \cdot 10 = 25$ , a nie $2{,}50$ — to wciąż $2{,}5$ .
• Kontrola: mnożysz, więc wynik musi urosnąć; dzielisz — zmaleć. Przy jednostkach mniejsza jednostka to większa liczba: $3{,}4\ \text{km} = 3400\ \text{m}$ .

Mnożymy — przecinek idzie w PRAWO

Skąd ten ruch? Naprawdę przesuwają się cyfry

Przecinek stoi, maszerują cyfry

Dzielimy — przecinek idzie w LEWO

Krok po kroku: 2,7 razy 1000

Pułapka! Dopisywanie zer zamiast przesuwania przecinka

Mylenie strony przesunięcia

Po co to w życiu: zamiana jednostek

Ściąga do zapamiętania

Sprawdź się!