Jak ustawiamy liczby w słupku, gdy mnożymy $12{,}5 \cdot 3{,}25$?

Do prawej strony, jak liczby całkowite — przecinek w wyniku wstawiamy dopiero na końcu, licząc cyfry po przecinku w obu czynnikach.

Przecinek dokładnie pod przecinkiem, tak jak przy dodawaniu.

Dłuższa liczba zawsze na dole, krótsza na górze.

Usuwamy przecinki i już ich nie wstawiamy, bo wynik mnożenia jest zawsze całkowity.

Które zdanie o mnożeniu jest prawdziwe?

Mnożenie przez liczbę mniejszą od 1 zmniejsza wynik.

Mnożenie zawsze powiększa liczbę, więc wynik jest większy od obu czynników.

Iloczyn dwóch ułamków dziesiętnych ma zawsze jedną cyfrę po przecinku.

Przy mnożeniu dziesiętnych trzeba najpierw wyrównać liczbę cyfr po przecinku zerami.

Mnożenie ułamków dziesiętnych — matematyka klasa 5

Butelka soku ma 1,2 litra, a litr kosztuje 2,50 zł. Ile zapłacisz? Dodawanie dziesiętnych już znasz, ale tutaj trzeba mnożyć, a przecinek zachowuje się zupełnie inaczej niż w słupku dodawania. Zaraz zobaczysz, gdzie ląduje.

Mnożymy tak, jakby przecinków nie było

Mnożenie ułamków dziesiętnych jest zaskakująco wygodne: przez cały rachunek udajemy, że przecinków nie ma. Zajmujemy się nimi dopiero na samym końcu.

Zaraz zobaczysz, jak z jednego mnożenia $3 \cdot 7 = 21$ powstają trzy zupełnie różne wyniki. Rachunek jest ten sam, decyduje wyłącznie liczba cyfr po przecinku.

Trzy kroki mnożenia dziesiętnych

1
Krok 1. Zasłoń przecinki i pomnóż liczby tak, jakby były całkowite.
$3 \cdot 7 = 21$
2
Krok 2. Policz, ile cyfr po przecinku mają oba czynniki razem.
$1 + 1 = 2$
3
Krok 3. W wyniku odlicz od prawej strony tyle samo cyfr i tam postaw przecinek.
$0{,}3 \cdot 0{,}7 = 0{,}21$

Wszystkie kroki za Tobą!

Jedno mnożenie, trzy różne wyniki

1
Czynniki mają razem jedną cyfrę po przecinku, więc w liczbie 21 odliczamy jedną cyfrę od prawej.
$0{,}3 \cdot 7 = 2{,}1$
2
Tu cyfr po przecinku jest dwie, a rachunek bez przecinków ten sam.
$0{,}3 \cdot 0{,}7 = 0{,}21$
3
A tu trzy — i wynik jest już dziesięć razy mniejszy od poprzedniego.
$0{,}03 \cdot 0{,}7 = 0{,}021$

Wszystkie kroki za Tobą!

Gdy cyfr w wyniku brakuje, dopisujemy zera

W ostatnim przypadku trzeba było odliczyć trzy cyfry, a liczba 21 ma tylko dwie. Gdy cyfr brakuje, dopisujemy zera z przodu — stąd $0{,}021$ .

Dlaczego cyfry po przecinku się dodają?

Bo to jest zwykłe mnożenie ułamków: $0{,}3$ to $\frac{3}{10}$ , a $0{,}7$ to $\frac{7}{10}$ . Licznik razy licznik, mianownik razy mianownik:

0,7

0,30,21

= 0,3 · 0,7 = 0,21

Prostokąt o bokach 0,3 i 0,7: pole wychodzi mniejsze od każdego boku

$0{,}3 \cdot 0{,}7 = \frac{3}{10} \cdot \frac{7}{10} = \frac{21}{100} = 0{,}21$

Każda cyfra po przecinku to jedno zero w mianowniku. Mnożymy mianowniki, więc zera z obu czynników zbierają się razem — i dokładnie tyle cyfr odliczamy w wyniku. Reguła z kroku 2 to nie sztuczka do wykucia, tylko mnożenie ułamków zwykłych zapisane na skróty.

Uwaga: tutaj przecinki NIE stoją pod sobą

Przy dodawaniu i odejmowaniu w słupku obowiązywała żelazna zasada: przecinek dokładnie pod przecinkiem. Przy mnożeniu ta zasada nie obowiązuje — i to jeden z najczęstszych błędów przenoszonych z poprzedniej lekcji.

Dodawanie kontra mnożenie w słupku

1
Dodawanie i odejmowanie. Liczby ustawiamy przecinek pod przecinkiem, bo przecinek w wyniku bierze się wprost z tej kolumny.
$2{,}50 + 1{,}20 = 3{,}70$
2
Mnożenie. Liczby dosuwamy do prawej strony, jak liczby całkowite, a przecinek w wyniku bierze się z liczby cyfr po przecinku w obu czynnikach.
$25 \cdot 12 = 300 \;\to\; 3{,}00$

Wszystkie kroki za Tobą!

Drugi nawyk: najpierw oszacuj

Zanim policzysz dokładnie, zgadnij z grubsza, ile ma wyjść. Wiesz wtedy z góry, w jakiej okolicy powinien wylądować wynik — i że 30 albo 0,3 to na pewno pomyłka z przecinkiem.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

2,5 razy 1

2,5 razy 1,2 — odrobinę dalej

Mnożnik 1,2 jest blisko 1, więc wynik ląduje blisko 2,5 — nie przy 30 ani przy 0,3

Jest jeszcze jedna rzecz, która zwykle zaskakuje: mnożenie nie zawsze powiększa. Gdy mnożysz przez liczbę mniejszą od 1, wynik maleje — $8 \cdot 0{,}5 = 4$ , bo pomnożyć przez 0,5 to to samo, co wziąć połowę.

Szacowanie w trzy sekundy

1
Działanie $2{,}5 \cdot 1{,}2$ to mniej więcej $2{,}5$ razy jeden.
$2{,}5 \cdot 1 = 2{,}5$
2
Mnożnik $1{,}2$ jest odrobinę większy od 1, więc wynik ma być odrobinę większy niż $2{,}5$ .
$1{,}2 > 1$
3
Odpowiedź kręci się więc koło 3. Wynik 30 albo 0,3 odpada, zanim cokolwiek policzysz.
$2{,}5 \cdot 1{,}2 \approx 3$

Wszystkie kroki za Tobą!

Butelka soku krok po kroku: $2{,}5 \cdot 1{,}2$

1
Najpierw szacujemy. Mnożymy 2,5 przez 1,2, czyli przez trochę więcej niż 1. Wynik ma więc wyjść trochę większy niż 2,5.
$2{,}5 \cdot 1 = 2{,}5$
2
Zasłaniamy przecinki i mnożymy jak liczby całkowite. W słupku dosuwamy liczby do prawej strony, nie ustawiamy przecinków pod sobą. Liczymy: 25 razy 10 to 250, a 25 razy 2 to 50, razem 300.
$25 \cdot 12 = 300$
3
Teraz przecinek. Liczba 2,5 ma jedną cyfrę po przecinku, liczba 1,2 też jedną. Razem dwie — i tyle cyfr po przecinku ma mieć wynik.
$1 + 1 = 2$
4
W liczbie 300 odliczamy od prawej dwie cyfry i przed nimi stawiamy przecinek. Wychodzi 3,00, a zera na końcu niczego nie wnoszą, więc zapisujemy po prostu 3. Sok kosztuje 3 zł.
$2{,}5 \cdot 1{,}2 = 3{,}00 = 3$
Wskazówka
Szacowałem trochę ponad 2,5 — wyszło 3. Pasuje idealnie.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Twoja kolej! Policz $2{,}4 \cdot 2{,}5$ . Najpierw oszacuj: to trochę więcej niż $2 \cdot 2{,}5 = 5$ . Wynik wychodzi całkowity, więc wpisz go bez przecinka.

2{,}4 \cdot 2{,}5 = \square

Pułapka! Przecinek w złym miejscu

To zdecydowanie najczęstszy błąd przy mnożeniu dziesiętnych. Sam rachunek bywa bezbłędny, a wynik i tak jest dziesięć albo sto razy za duży, bo przecinek wylądował o jedno miejsce dalej, niż powinien.

Przykład pułapki: $3{,}6 \cdot 0{,}4$

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1,44 — poprawny wynik

3,6 — granica, poniżej której musi wypaść wynik

14,4 — dziesięć razy za dużo

Mnożnik 0,4 jest mniejszy od 1, więc wynik musi wylądować poniżej 3,6

1
Zasłaniamy przecinki i mnożymy jak liczby całkowite.
$36 \cdot 4 = 144$
2
Cyfry po przecinku: jedna i jedna, razem dwie. Odliczamy w liczbie 144 dwie cyfry od prawej.
$3{,}6 \cdot 0{,}4 = 1{,}44$
3
Kto odliczy tylko jedną cyfrę, zapisze 14,4 — dziesięć razy za dużo.
$14{,}4 \ne 1{,}44$
4
Szacowanie wyłapuje to natychmiast: mnożymy przez 0,4, czyli przez mniej niż całość, więc wynik musi być mniejszy niż 3,6. Liczba 14,4 odpada, zanim cokolwiek sprawdzisz.
$1{,}44 < 3{,}6$

Wszystkie kroki za Tobą!

Druga wersja tej samej pułapki: brakuje cyfr

Weźmy $0{,}2 \cdot 0{,}3$ : bez przecinków wychodzi $2 \cdot 3 = 6$ , a odliczyć trzeba dwie cyfry. Jedna cyfra to za mało, więc dopisujemy zero z przodu i wychodzi $0{,}06$ .

Odpowiedź 0,6 jest dziesięć razy za duża — iloczyn dwóch liczb mniejszych od 1 musi być mniejszy od każdej z nich, a $0{,}6$ jest przecież większe od $0{,}3$ .

Szacowanie to obowiązkowy ostatni krok

Szacowanie nie jest tu dodatkiem dla chętnych, tylko obowiązkowym ostatnim krokiem: popatrz na wynik i zapytaj, czy taki w ogóle mógł wyjść.

Mnożenie, które zmniejsza: $8 \cdot 0{,}5$

1
Mnożnik 0,5 to połowa całości, więc spodziewamy się wyniku mniejszego niż 8. Brzmi dziwnie, ale zaraz się to potwierdzi.
$0{,}5 = \frac{1}{2}$
2
Zasłaniamy przecinek i mnożymy jak liczby całkowite.
$8 \cdot 5 = 40$
3
Cyfry po przecinku: liczba 8 nie ma żadnej, liczba 0,5 ma jedną. Razem jedna. W liczbie 40 odliczamy od prawej jedną cyfrę i wychodzi 4,0, czyli 4.
$8 \cdot 0{,}5 = 4$
4
Wyszła dokładnie połowa ósemki. Gdy mnożnik jest większy od 1, wynik rośnie: $8 \cdot 1{,}5$ to $8 \cdot 15 = 120$ , jedna cyfra po przecinku, czyli 12.
$8 \cdot 1{,}5 = 12$
Wskazówka
Zapamiętaj granicę: mnożnik mniejszy od 1 zmniejsza, większy od 1 powiększa, równy 1 nic nie zmienia. 🏆

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Trudniejsze — aż trzy cyfry po przecinku: $1{,}25 \cdot 0{,}8$ . Mnożysz przez 0,8, czyli przez mniej niż całość, więc wynik ma być mniejszy niż 1,25. Wychodzi liczba całkowita, wpisz ją bez przecinka.

1{,}25 \cdot 0{,}8 = \square

Ściąga do zapamiętania

Jak mnożyć ułamki dziesiętne i skąd wiadomo, gdzie postawić przecinek?

Mnożysz tak, jakby przecinków nie było, a potem odliczasz w wyniku od prawej tyle cyfr, ile mają razem oba czynniki: $2{,}5 \cdot 1{,}2$ to $25 \cdot 12 = 300$ i dwie cyfry, czyli $3{,}00 = 3$ .
• Skąd ta reguła? $0{,}3 \cdot 0{,}7 = \frac{3}{10} \cdot \frac{7}{10} = \frac{21}{100} = 0{,}21$ — każda cyfra po przecinku to zero w mianowniku, a mianowniki się mnożą.
• W słupku dosuwasz liczby do prawej, jak liczby całkowite. Przecinek pod przecinkiem to zasada z dodawania — przy mnożeniu nie obowiązuje.
• Gdy cyfr w wyniku brakuje, dopisujesz zera z przodu: $0{,}2 \cdot 0{,}3 = 0{,}06$ .
• Mnożnik mniejszy od $1$ zmniejsza wynik: $8 \cdot 0{,}5 = 4$ . Większy od $1$ powiększa: $8 \cdot 1{,}5 = 12$ .
• Pułapka numer jeden to przecinek o jedno miejsce za daleko: $3{,}6 \cdot 0{,}4 = 1{,}44$ , a nie $14{,}4$ .
• Dlatego szacowanie jest obowiązkowym ostatnim krokiem: $2{,}5 \cdot 1{,}2$ ma wyjść trochę więcej niż $2{,}5$ .

Mnożymy tak, jakby przecinków nie było

Trzy kroki mnożenia dziesiętnych

Jedno mnożenie, trzy różne wyniki

Gdy cyfr w wyniku brakuje, dopisujemy zera

Dlaczego cyfry po przecinku się dodają?

Uwaga: tutaj przecinki NIE stoją pod sobą

Dodawanie kontra mnożenie w słupku

Drugi nawyk: najpierw oszacuj

Szacowanie w trzy sekundy

Butelka soku krok po kroku: 2,5⋅1,22{,}5 \cdot 1{,}22,5⋅1,2

Pułapka! Przecinek w złym miejscu

Przykład pułapki: 3,6⋅0,43{,}6 \cdot 0{,}43,6⋅0,4

Druga wersja tej samej pułapki: brakuje cyfr

Szacowanie to obowiązkowy ostatni krok

Mnożenie, które zmniejsza: 8⋅0,58 \cdot 0{,}58⋅0,5

Ściąga do zapamiętania

Sprawdź się!

Butelka soku krok po kroku: $2{,}5 \cdot 1{,}2$

Przykład pułapki: $3{,}6 \cdot 0{,}4$

Mnożenie, które zmniejsza: $8 \cdot 0{,}5$